Esercizio su divergenza e flusso
considero il campo di vettori $F(x,y)=(0,x^2)$ in $R^2$ e l'aperto $ω={(x,y)∈R2∣x^2+y^2<4,x>0,y>0}$. calcolare il flusso del campo F uscente da ω e mostrare che vale il teorema della divergenza. allora la divergenza è zero e l'integrale della divergenza su omega è dunque zero.
per i due segmenti non ho problemi....sul segmento appartenente alla retta y=0 il flusso vale 0 perchè
$\int_{0}^{2} (0,0)*(-1,0) dx$ ove (0,0) è il campo in quel segmento (-1,0) è il versore uscente dal bordo e * indica il prodotto scalare...giusto vero????
sul segmento appartenente alla retta x=0 il flusso vale -8/3 perchè
$\int_{0}^{2} (0,x^2)*(0,-1) dx=\int_{0}^{2}-x^2=[-x^(3)/3]$tra 0 e 2 e vale -8/3
quindi per essere rispettato il teorema della divergenza l'integrale sul'arco di circonferenza deve vale 8/3 ...
qui il campo è sempre $(0,x^2)$ mentre il vettore uscente è $(x/2,y/2)$ dunque
$\int (0,x^2)*(x/2,y/2)=1/2\int x^2ydxdy$ il mio problema è che questo integrale è definito solo sul bordo della circonferenza, dunque le coordinate polari non posso usarle( per dirla malamente non c'è il raggio)...quindi il problema è: come risolvo questo integrale definito sul bordo??? come faccio a prendere gli estremi di integrazione?????'
i farei questo integrale doppio cosi $\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}x^2ydxdy$, però non so se è giusto...
per i due segmenti non ho problemi....sul segmento appartenente alla retta y=0 il flusso vale 0 perchè
$\int_{0}^{2} (0,0)*(-1,0) dx$ ove (0,0) è il campo in quel segmento (-1,0) è il versore uscente dal bordo e * indica il prodotto scalare...giusto vero????
sul segmento appartenente alla retta x=0 il flusso vale -8/3 perchè
$\int_{0}^{2} (0,x^2)*(0,-1) dx=\int_{0}^{2}-x^2=[-x^(3)/3]$tra 0 e 2 e vale -8/3
quindi per essere rispettato il teorema della divergenza l'integrale sul'arco di circonferenza deve vale 8/3 ...
qui il campo è sempre $(0,x^2)$ mentre il vettore uscente è $(x/2,y/2)$ dunque
$\int (0,x^2)*(x/2,y/2)=1/2\int x^2ydxdy$ il mio problema è che questo integrale è definito solo sul bordo della circonferenza, dunque le coordinate polari non posso usarle( per dirla malamente non c'è il raggio)...quindi il problema è: come risolvo questo integrale definito sul bordo??? come faccio a prendere gli estremi di integrazione?????'
i farei questo integrale doppio cosi $\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}x^2ydxdy$, però non so se è giusto...
Risposte
secondo me si possono usare benissimo le coordinate polari con $rho=2$ costante e $theta in [0,pi/2]$
mmmm non so ...non sono convinto, anche perchè utilizzando le coordinate polari, almeno che non abbia sbagliato i conti, cosa tutt'altro che impossibile, viene
$\int_{0}^{pi/2} \int_{0}^{2}p^4cos^2thetasentheta dpd(theta)$, cioè $32/5[(-cos^3theta)/3]$ quest'ultimo calcolato tra 0 e pi greco mezzi, e il risultato è $32/15$..mi dovrebbe venire $8/3$ ...
$\int_{0}^{pi/2} \int_{0}^{2}p^4cos^2thetasentheta dpd(theta)$, cioè $32/5[(-cos^3theta)/3]$ quest'ultimo calcolato tra 0 e pi greco mezzi, e il risultato è $32/15$..mi dovrebbe venire $8/3$ ...
Per quanto riguarda i valori sui segmenti scrivi male: se $y=0$ allora $F(x,y)=(0,x^2)$ con $0
$\int_0^2 (0,x^2)\cdot(0,-1)\ dx=\int_0^2 -x^2\ dx=[-x^3/3]_0^2=-8/3$
Se $x=0$, allora $F(x,y)=(0,0)$ e banalmente l'integrale è nullo.
Se invece ti restringi alla circonferenza, la normale uscente in coordinate cartesiane è
$v=(x/{\sqrt{x^2+y^2}}, y/{\sqrt{x^2+y^2}}$
In alternativa, parametrizzando in coordinate polari $x=2\cos t,\ y=2\sin t$ con $t\in[0,\pi/2]$ avrai $v=(2\cos t,2\sin t)$ il vettore normale, e quindi
$(0,4\cos^2 t)\cdot(2\cos t,2\sin t)=8\cos^2 t\sin t$
da cui
$\int_0^{\pi/2} 8\cos^2 t \sin t\ dt=[-8/3 \cos^3 t]_0^{\pi/2}=8/3$
$\int_0^2 (0,x^2)\cdot(0,-1)\ dx=\int_0^2 -x^2\ dx=[-x^3/3]_0^2=-8/3$
Se $x=0$, allora $F(x,y)=(0,0)$ e banalmente l'integrale è nullo.
Se invece ti restringi alla circonferenza, la normale uscente in coordinate cartesiane è
$v=(x/{\sqrt{x^2+y^2}}, y/{\sqrt{x^2+y^2}}$
In alternativa, parametrizzando in coordinate polari $x=2\cos t,\ y=2\sin t$ con $t\in[0,\pi/2]$ avrai $v=(2\cos t,2\sin t)$ il vettore normale, e quindi
$(0,4\cos^2 t)\cdot(2\cos t,2\sin t)=8\cos^2 t\sin t$
da cui
$\int_0^{\pi/2} 8\cos^2 t \sin t\ dt=[-8/3 \cos^3 t]_0^{\pi/2}=8/3$
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