Esercizio su derivata direzionale e polinomio di Taylor

[Howard_Wolowitz]

Innanzitutto buona serata a tutti!
Data la seguente funzione di due variabili
[tex]z=6x^2+4y^2-x^3y[/tex]
a)Calcolare il polinomio di Taylor di [tex]z=f(x,y)[/tex] centrato in [tex](0,0)[/tex] di ordine 2 con resto di Peano;
b)Calcolare le derivate direzionali della funzione in oggetto nel punto [tex](1,1)[/tex] lungo i vettori direzione della retta [tex]3x-y+5=0[/tex].
Risoluzione:
a)
L'unico termine della funzione non polinomiale in [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] di ordine [tex]n \leq 2[/tex] è [tex]-x^3y[/tex].
Pongo [tex]g(x,y) = x^3y[/tex] quindi trovo le derivate parziali del primo ordine rispetto ad [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex], quelle pure e quelle miste del secondo ordine e le valuto in [tex](0,0)[/tex]:
[tex]g_{x}(x,y)=3x^2y[/tex] [tex]g_{x}(0,0)=0[/tex]
[tex]g_{y}(x,y)=x^3[/tex] [tex]g_{y}(0,0)=0[/tex]
[tex]g_{xx}(x,y)=6xy[/tex] [tex]g_{xx}(0,0)=0[/tex]
[tex]g_{yy}(x,y)=0[/tex] [tex]g_{yy}(0,0)=0[/tex]
[tex]g_{xy}(x,y)=g_{yx}(x,y)=3x^2[/tex] [tex]g_{xy}(0,0)=0[/tex]
Da ciò mettendo insieme il tutto ottengo che il polinomio di Taylor di ordine 2 centrato in [tex](0,0)[/tex] relativo alla funzione [tex]z=f(x,y)[/tex] con resto di Peano è:
[tex]P_{n}(x,y)=6x^2+4y^2+o(x^2+y^2)[/tex]
b)
In questo caso inizio con il derivare [tex]z=f(x,y)[/tex] rispetto ad [tex]x[/tex] ed [tex]y[/tex] trovando:
[tex]f_{x}(x,y)=12x-3x^2y[/tex]
[tex]f_{y}(x,y)=8y-x^3[/tex]
da ciò ottengo [tex]\nabla f(x,y)=(12x-3x^2y,8y-x^3) \Rightarrow \nabla f(1,1)=(9,7)[/tex].
Per quanto riguarda la retta, essa può essere messa in forma standard in modo da avere
[tex]x=\frac{y-5}{3}[/tex] ed il conseguente sistema di equazioni parametriche scalari
[tex]\begin{cases} x=t \\ y=5+3t \end{cases}[/tex]
i vettori direzione della retta sono quindi [tex]v_{1} = i+3j[/tex] e [tex]v_{2}=-i-3j[/tex].
La norma di [tex]v_{1}[/tex] e [tex]v_{2}[/tex] è [tex]\sqrt{10}[/tex].
Da ciò ottengo pertanto
[tex]D_{\frac{v_{1}}{\|v_{1}\|}}f(x,y)=(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}})\cdot(9,7)=3\sqrt{10}[/tex]
e
[tex]D_{\frac{v_{2}}{\|v_{2}\|}}f(x,y)=(-\frac{1}{\sqrt{10}},-\frac{3}{\sqrt{10}})\cdot(9,7)=-3\sqrt{10}[/tex].

Grazie in anticipo a tutti e ancora buona serata!!

[Maci86]

Ma se ti fai la domanda e ti dai la risposta da solo, giusta, che gusto c'è?

[Howard_Wolowitz]

Innanzitutto ti ringrazio.
In effetti avevo qualche dubbio su come svolgere tali esercizi in quanto credo di averli sbagliati in un compito.
Più precisamente:
a) Sbaglio o peteva non essere necessarrio calcolare le derivate? Dopo tutto [tex]f(x,y)[/tex] è già polinomiale ma di 4° grado. A questo punto so che tutti i polinomi di Taylor inferiori al 4° grado avranno resto secondo Peano uguale a [tex]o({\|(x,y)\|}^{n})[/tex] per [tex]n[/tex] uguale al grado del polinomio di Taylor in questione.Per [tex]n \geq 4[/tex] il resto sarà 0, ovvero sempre un o-piccolo di qualcosa.
A tal punto anche calcolare le derivate dell'intera [tex]f[/tex], come ho fatto nel compito, è ugualmente inutile più che sbagliato.
b) L'errore che penso di aver fatto in questo esercizio è quello di aver trovato al posto del vettore [tex](1,3)[/tex] il vettore [tex](1/3,1)[/tex]. Il risultato è lo stesso in quanto non essendo versori vengono divisi per la loro norma, operazione che porta allo stesso vettore unitario, in effetti hanno la medesima inclinazione ma diverso modulo.
Reputi siano valutabili quali errori le precedenti considerazioni riguardo le imperfezioni da me inserite nel compito??
La domanda è rivolta a tutti, in particolare a Maci86 a cui ho risposto.

[Maci86]

Secondo me non son errori e se lo fossero sarebbero di infima importanza, ma io purtroppo non li correggo quindi dipende dal Professore. Fammi sapere!