Esercizio su Curva semplice

[CallistoBello]

Mi servirebbe una conferma sullo svolgimento del seguente esercizio
Verificare se la seguente curva è regolare,chiusa,semplice
$ gamma=(sint,sin2t,t^4),tin[-pi,pi] $

i) per verificare la regolarità ho considerato che:
1. la funzione seno e la funzione polinomio sono funzioni di classe $C^ oo (R)$
2.$gamma'(t)=(cost,2cos(2t)sin(2t),4t^3) != 0$
perché $t^3 !=0 AAtin[-pi,0)U(0,pi]$ ed in $t=0$ abbiamo che $x'(t)=cost !=0$
Risultato: è Regolare

ii) $gamma(-pi)=(sin(-pi),sin(-2pi),(-pi)^4)=(0,0,pi^4)$
$gamma(pi)=(sinpi,sin(2pi),pi^4)=(0,0,pi^4)$
Quindi la Curva è Chiusa

iii)
STEP1: Assumo che una delle componenti sia uguale per due valori diversi del parametro t.
cioè $sint_1=sint_2 rArr t_1=pi-t_2 , t_2=h, h in [-pi,pi]$

STEP2: controllo se per quei due valori del parametro t , le restanti componenti siano funzioni NON INIETTIVE (cioè assumono STESSO VALORE in corrispondenza a due t diverse, t1 e t2)

$gamma(h)=(sinh,sin(2h),h^4)$
$gamma(pi-h)=(sin(pi-h),sin[2(pi-h)],(pi-h)^4)=(sinh,sin(2h),(pi-h)^4)$

Risultato:
-la prime due componenti ci vengono uguali ---> quindi sono funzioni NON INIETTIVE (stesso valore in corrispondenza ad una t1 e ad una t2 , con t1 diversa da t2)
-per la terza componente invece dobbiamo verificarlo:

UGUAGLIAMO: $(pi-h)^4=h^4$ che è vero sse $2h=pi$ cioè $h=pi/2$

Ora, questa variabile h comune alle due condizioni necessarie affinché la prima componente sia una f.non iniettiva, ce la dobbiamo RI-esprimere in termini della $t_1 e t_2$ iniziali

quindi abbiamo : $ { ( t_1=pi-pi/2=pi/2 ),( t_2=pi/2 ):} $

Risultato: abbiamo ottenuto che "la 3° componente , assume uno stesso valore, solo in corrispondenza ad 1 stesso valore del parametro t"
--> dunque $z(t)$ è iniettiva
---> non abbiamo punti "doppi" \ punti in cui la curva si autointersa
---> $gamma$ è semplice

[pilloeffe]

Ciao CallistoBello,

"CallistoBello":UGUAGLIAMO: $(\pi-h)^4=\pi^4 $ che è vero sse $2h=\pi $ cioè $h=\pi/2 $

In realtà è $(\pi-h)^4= h^4 $, altrimenti sarebbe falso il ragionamento successivo...

"CallistoBello":non abbiamo punti [...] in cui la curva si autointerseca

Il resto mi pare corretto.

[CallistoBello]

Premessa: grazie per la risposta

Il mio dubbio era su questo punto:

STEP1: Assumo che una delle componenti sia uguale per due valori diversi del parametro t.
cioè sint1=sint2⇒t1=π−t2,t2=h,h∈[−π,π]

perché l'Intervallo non è nella tipica forma $[0,2pi]$
e quindi non so se quell'equazione goniometrica per confronto , della forma : $sinf(x)=sing(x)$
ammette le classiche soluzioni della forma:
$f(x)=g(x)+2kpi$ ,$f(x)=pi-g(x)+2kpi$
oppure
c'è da cambiare qualcosa ??


Il dubbio nasce dal fatto che studiando dal Boella , il libro suggerisce che:
ESEMPIO1: $gamma(t)=(cost,pi-|t|,sint) , t in [-pi,pi] $
STEP1: $cost_1=cost_2$ sse $t_2=-t_1$ $t_1=h$
ESEMPIO2:$gamma(t)=(cost,sin2t),t in [0,2pi]$
STEP1:$cost_1=cost_2$sse $t_2=2pi-t_1$ $t_1=h$

[Mephlip]

Devi solamente assicurarti che $t_1,t_2$ varino nell'intervallo prescritto in cui $\gamma$ è definita. Se $t_1,t_2 \in [-\pi,\pi]$ allora $[\cos t_1=\cos t_2] \iff [(t_1=t_2) \vee (t_1=-t_2)]$ perché, essendo in $[-\pi,\pi]$, non avrebbe senso scrivere per la seconda condizione $t_1=2\pi-t_2$ in quanto, ad esempio per $t_2=-\pi$, otterresti $t_1=3\pi \notin[-\pi,\pi]$. Altrimenti, se $t_1,t_2 \in [0,2\pi]$ allora $[\cos t_1=\cos t_2] \iff [(t_1=t_2) \vee (t_1=2\pi-t_2)]$ con lo stesso ragionamento suddetto.

In maniera simile si adatta agli altri casi col seno negli intervalli $[-\pi,\pi]$ e $[0,2\pi]$.

[CallistoBello]

Quindi nel mio svolgimento avrei dovuto considerare:
$sint_1=sint_2$ sse $t_1=-t_2$ ??

E se volessi generalizzare il discorso ad un generico Intervallo del tipo $[a,b]$ ?
Quali sarebbero le soluzioni dell'equazione : $sint_1=sint_2$ ?
E dell'equazione: $cost_1=cost_2$?

RIFORMULO:
Qual è il ragionamento da fare che mi permette di adattare le soluzioni del caso standard $[0,2pi]$:
$t_1=2pi-t_2$ ,$t_2=h$ nel caso dell'equazione dei coseni
e
$t_1=pi-t_2$ e $t_2=h$ nel caso dell'equazione dei seni
al caso di un generico intervallo $[a,b]$ (ad es. $[-2pi,pi]$ ) ??