Esercizio su convergenza uniforme

[compa90]

Buonasera, ho il seguente esercizio in cui viene chiesto di determinare tutti e soli i numeri reali $a
Ora, ho già provato che la successione di funzioni converge alla funzione nulla su tutto $RR$, dunque, se considero la seguente proposizione:

Data una successioni di funzioni $f_n:I to RR$ convergente puntualmente alla funzione $f(x)$ in $I$.
Allora la successione di funzione convergente uniformemente alla funzione $f(x)$ se e solo se

$lim_(n to + infty) \mbox{sup}{|f_n(x)-f(x)| \ : x in I}=0$

devo verificare che

$lim_(n to + infty) \mbox{sup}{|f_n(x)| \ : x in I}=0$

con $a,b$.

Dunque, devo determinare $a,b$ per cui il $lim_(n to + infty) \mbox{sup}{|f_n(x)| \ : x in I}=0$
Io sò che la funzione ha un punto di massimo in $x=1/(sqrt(2)n)$ (Calcolato derivata e segno), tale punto però non va bene per il mio scopo, infatti risulterebbe $M_n=sqrt(2)/(2e)$ è costante e non converge a zero.

Come posso procedere ?

[Mephlip]

Il massimo lo hai calcolato facendo la derivata, dalla quale concludi che:
$$[f_n'(x)>0]\iff[-(2n^2x^2-1)e^{-n^2x^2}>0] \iff\left[-\frac{1}{\sqrt{2}n} E concludi che $x_n:=\frac{1}{\sqrt{2}n}$ è punto di massimo per $f_n$. Tuttavia, sei nel caso $a
Il fatto è che $x_n \to 0$ per $n\to+\infty$, quindi, al variare dei parametri $a$ e $b$, nel limite per $n\to+\infty$ dell'estremo superiore potrebbe essere che $x_n \notin (a,b)$ per $n$ abbastanza grande; questo altera lo studio della monotonia. Ad esempio, che succede se $a

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[compa90]

Ciao Mephilp, grazie per avermi risposto.

"Mephlip":Ad esempio, che succede se $ a Non lo sò, quello che mi viene in mente e che a partire dallo studio della segno della derivata ho tre intervalli, cioè
1)$(-infty, -1/(sqrt(2)n))$, $f_n$ decrescente
2)$(-1/(sqrt(2)n), 1/(sqrt(2)n))$, $f_n$ crescente
3)$(1/(sqrt(2)n), + infty)$, $f_n$ decrescente

posso prendere $(a,b)$ all'interno del primo intervallo, e verificare per quale valore di $a$, in questo caso essendo crescente, si ha $M_n=0$ per $n \to infty$, mi sbaglio?

[Mephlip]

Prego! Sostanzialmente sì: facciamo un esempio concreto. Supponiamo che siano $a=-3$ e $b=-2$, allora dobbiamo determinare cosa sia $\text{sup}_{x\in[-3,-2]} nxe^{-n^2 x^2}$. Come hai già correttamente notato, $f_n$ è strettamente crescente come funzione di $x$ se e solo se $-\frac{1}{\sqrt{2}n}
Ma, per ogni $n\in\mathbb{N} \setminus \{0\}$, è $[-3,-2] \cap \left(-\frac{1}{\sqrt{2}n},\frac{1}{\sqrt{2}n}\right)=\emptyset$ e pertanto, in questo caso, $f_n$ è strettamente decrescente per ogni $x \in [-3,-2]$. Ne segue, per continuità delle $f_n$ nel compatto $[-3,-2]$, che:
$$\text{sup}_{x\in[-3,-2]} nxe^{-n^2 x^2}=\max_{x\in[-3,-2]} nxe^{-n^2 x^2}=f_n(-3)=-3ne^{-9n^2}$$
Perciò:
$$\lim_{n\to+\infty} \text{sup}_{x\in[-3,-2]} nxe^{-n^2 x^2}=\lim_{n\to+\infty} \left(-3ne^{-9n^2}\right)=0$$
Pertanto, $f_n$ converge uniformemente a $0$ in $[-3,-2]$.

Come vedi, la monotonia viene influenzata da chi sono $a$ e $b$; perciò, devi discutere qualche caso.

Spero che ti sia utile come guida per gli altri casi, in alcuni devi procedere usando che $n$ diventa arbitrariamente grande nella proposizione di uniforme convergenza da te riportata.

Edit: ho corretto un paio di cose perché ho erroneamente visto $(a,b)$ anziché $[a,b]$, scusami. Il ragionamento è praticamente lo stesso, comunque.

[compa90]

No sei stato d'aiuto, l'ho pure preso in considerazione quel teorema, ma poi non ho proseguito.

Comunque, si forse ci sono; faccio prima l'intervallo tutto negativo; quindi sia $I=[a,-1/(sqrt(2)n)]$
Dunque, per la decrescenza \[ \text{sup}_{x\in[a,\tfrac{-1}{\sqrt2 n}]} nxe^{-n^2 x^2}=-ane^{-a^2n^2} \] ricordando il limite notevole $lim_{n\to + infty}\frac{p_n^alpha}{b^{p_n}}$, risulta essere nullo se
$alpha \in RR$
$b>1$
$p_n \ to + infty$ per $n to + infty$

$p_n=a^2n^2\ to + infty$ per $n to + infty$
$b=e>1$
$alpha=1/2 in RR$

quindi, converge uniformente in $[a,-1/(sqrt(2)n)]$ , con $a> -infty$

Va bene questo caso cosi ?

[Mephlip]

"compa90":$$\text{sup}_{x\in[a,\frac{−1}{\sqrt{2}n}]}nxe^{−n^2x^2}=−ane^{−a^2n^2}$$

Occhio che qui non c'è il segno meno.

A livello di idea dello svolgimento ci sei, ma $b$ non può dipendere da $n$ perché $[a,b]$ è l'intervallo fissato in cui varia $x$. Devi pensare $b$ come dato a priori (questi esercizi dipendenti da parametri vanno pensati come "famiglie" di problemi: si danno dei parametri generici e, una volta dati, essi si pensano fissati rispetto alle altre variabili e identificano un'intera classe di problemi).

Se vuoi riprovarci, scrivi pure. Ti metto in spoiler la soluzione del caso $a

Il fatto è il seguente (che forse hai già incontrato nello svolgimento di alcuni limiti di successioni di funzioni definite a tratti): siano $a
Quindi, procedendo con il calcolo della derivata che hai fatto nei post precedenti, come funzione di $x$ si ha che $f_n$ è definitivamente strettamente decrescente in $\left[a,b]$ e perciò:
$$\text{sup}_{x \in [a,b]} f_n(x)=f_n(a)$$
Quindi:
$$\lim_{n\to+\infty} \text{sup}_{x \in [a,b]} f_n(x)=\lim_{n\to+\infty}nae^{-n^2a^2}=0$$
Dunque, hai convergenza uniforme di $f_n$ a $0$ in $a
Per l'arbitrarietà di $a

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[compa90]

Non ho visto lo spoiler.
Si ha ragione, l'estremo superiore è $an e^{-n^2a^2}$.

Però $b$ deve essere necessariamente minore di $x=-1/(sqrt2 n)$ giusto ?

"(questi esercizi dipendenti da parametri vanno pensati come "famiglie" di problemi: si danno dei parametri generici e, una volta dati, essi si pensano fissati rispetto alle altre variabili e identificano un'intera classe di problemi)"
si esatto, prendo una $x$ la quale dipende $n$ e ho un certo termine di successione, giusto ?

[Mephlip]

Mi riferivo ad $a$ e $b$ come parametri. Quello che intendevo dire è che devi pensare $a$ e $b$ introdotti prima di definire esplicitamente $f_n$, visto che $a$ e $b$ stabiliscono l'insieme in cui varia $x$ essendo $[a,b]$ il nuovo dominio di $f_n$ sul quale studi l'uniforme convergenza. Solo poi si introducono $x$ ed $n$ tramite la definizione esplicita "$f_n:[a,b] \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f_n(x):=nxe^{-n^2x^2}$".

"compa90":si esatto, prendo una x la quale dipende n e ho un certo termine di successione, giusto ?

Non ho capito cosa vuoi dire qui. In generale, $x$ non dipende necessariamente da $n$: tu hai una successione di funzioni, quindi ci sono vari modi di interpretare l'oggetto matematico in esame. Supponiamo $A \subseteq\mathbb{R}$, $A\ne\emptyset$ ed è $f_n:A \to \mathbb{R}$:

(i) se fissi $x_0 \in A$ hai $f_n(x_0)$, che è una successione numerica. Ossia, hai una nuova funzione $g:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ definita da $g_n=f_n(x_0)$. Se, ulteriormente, fissi $n_0 \in \mathbb{N}$, ottieni un numero reale $g_{n_0}=f_{n_0}(x_0) \in A$.

(ii) se fissi $n_0 \in \mathbb{N}$ hai $f_{n_0}(x)$, che è una funzione di $x$. Ossia, hai una nuova funzione $g:A \to \mathbb{R}$ definita da $g(x)=f_{n_0}(x)$. Se, ulteriormente, fissi $x_0 \in A$, ottieni nuovamente un numero reale $g(x_0)=f_{n_0}(x_0) \in A$.

Chiaramente, puoi anche chiederti cosa succede su numeri appartenenti ad $A$ ma che sono elementi di una successione: ad esempio, se prendi $f_n:(0,1] \to \mathbb{R}$ definita da $f_n(x)=nx$ hai che $1/n \in (0,1]$ per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ ed è $f_n(1/n)=1$ per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$. Ma, in generale, $x$ ed $n$ non dipendono necessariamente l'uno dall'altro.

"compa90":Però $ b $ deve essere necessariamente minore di $ x=-1/(sqrt2 n) $ giusto ?

Perché?

[compa90]

Grazie per la chiara spiegazione!

Dico che $b$ deve essere minore di $-1/(sqrt2 n)$ perché l’intervallo $[a,b]$ in cui voglio studiare la convergenza uniforme deve essere contenuto nell’intervallo $(-infty,-1/(sqrt2 n))$.

[compa90]

Buongiorno Mephlip !

Procedendo in maniera speculare (lo dico a parole mie, per esercitarmi): Considero $[a,b]$ con $0
Osservazione 1
La quantità $1/(sqrt2 n) to 0$ per $n to + infty$, poiché che $a$ è fissato ed è strettamente positivo, segue che esiste un certo $N in NN$ per cui $a>1/(sqrt2 n)$ quando $n le N$.

Osservazione 2
La funzione nell'intervallo $ (1/(sqrt(2)n), + infty) $ è decrescente, e l'intervallo compatto $[a,b]$ è contenuto in $ (1/(sqrt(2)n), + infty) $, inoltre, la successione di funzioni è una successione di funzioni continue, segue che \[ \text{sup}_{x\in[a,b]} nxe^{-n^2 x^2}=\max_{x\in[a,b]} nxe^{-n^2 x^2}=f_n(a)=nae^{-n^2a^2} \]

Osservazione 3
Poiché

$lim_{n to +infty}\text{sup}_{x\in[a,b]} nxe^{-n^2 x^2}=lim_{n to +infty}nae^{-n^2a^2}=0$

allora , c'è convergenza uniforme nell'intervallo $[a,b]$


Rimangono i casi $[a,b]$ con 1) $a<00$.
Considero il primo caso 1); quindi, presi $a,b$ fissati, si ha per le stesse ragioni discusse, dell'esistenza di una $N in NN$ tale che

$a<-1/(sqrt2 n), \ \qquad 1/(sqrt2 n) per $n ge N$.
Quando $n to + infty$ l'intervallo di crescenza di $f_n$ diventa piccolissimo, come in



non so come argomentare, però quello che mi vien da pensare è che, essendo l'intervallo di crescenza degenere, non riesco a determinare il sup.

Considero il caso 2), e il caso 3) arrivo sempre alla stessa conclusione del casi 1).
Se è cosi, non ci dovrebbe essere convergenza nei casi 1), 2) e 3).

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[Mephlip]

Buongiorno a te!

"compa90":
Osservazione 1
La quantità $1/(sqrt2 n) to 0$ per $n to + infty$, poiché che $a$ è fissato ed è strettamente positivo, segue che esiste un certo $N in NN$ per cui $a>1/(sqrt2 n)$ quando $n le N$.

Qui dovrebbe essere $n \ge N$, ma è sicuramente un errore di battitura visto che dopo lo scrivi correttamente.

"compa90":
Osservazione 2
La funzione nell'intervallo $ (1/(sqrt(2)n), + infty) $ è decrescente, e l'intervallo compatto $[a,b]$ è contenuto in $ (1/(sqrt(2)n), + infty) $, inoltre, la successione di funzioni è una successione di funzioni continue, segue che \[ \text{sup}_{x\in[a,b]} nxe^{-n^2 x^2}=\max_{x\in[a,b]} nxe^{-n^2 x^2}=f_n(a)=nae^{-n^2a^2} \]

Osservazione 3
Poiché

$lim_{n to +infty}\text{sup}_{x\in[a,b]} nxe^{-n^2 x^2}=lim_{n to +infty}nae^{-n^2a^2}=0$

allora , c'è convergenza uniforme nell'intervallo $[a,b]$

Esatto!

Nel caso (1) proverei così: se ci fosse convergenza uniforme ad $f(x)=0$ in $[a,b]$, per ogni $\varepsilon>0$ esisterebbe $\bar{N}\in\mathbb{N}$ tale che per ogni $x \in[a,b]$, per ogni $n\in\mathbb{N}$, se $n \ge \bar{N}$ allora $|f_n(x)|<\epsilon$. Riesci a negarla? Metto in spoiler la soluzione.

Dato che $\frac{1}{\sqrt{2}N} \in [a,b]$ e risulta $f_N\left(\frac{1}{\sqrt{2}N}\right)=\frac{1}{\sqrt{2e}}$, non si riesce a rendere $|f_n(x)|<\varepsilon$ per ogni $\epsilon>0$ e per ogni $x \in [a,b]$ se $n \ge N$.

I casi (2) e (3) si dovrebbero trattare analogamente a questo caso (1), con le dovute modifiche.

[compa90]

Buonasera Mephlip, ho visto lo spoiler, ho provato ad imitare quello che hai scritto modificando un pò (ovviamente c'è il rischio che abbia sbagliato).

Ricordo la definizione di convergenza uniforme:
${f_n}$ converge uniformemente in $ I$ ad $f$, se per ogni $varepsilon>0$ esiste $\nu$ tale che $forall \ n >\nu$, $forall \ x \in I$ si ha che

$|f_n(x)-f(x)|

Io ho
$f(x)=0$
$f_n(x)=nxe^{-n^2x^2}$
$I=[a,b]$ con $a<0
se considero $bar{x}=a/2>a$, allora

$|f_n(bar{x})-f(x)|=|na/2e^{-n^2a^2/4}|=n/2e^{-n^2a^2/4}|a|>1/|a|$

quindi, questa $|f_n(bar{x})-f(x)|$ non si può rendere minore di $varepsilon$, pertanto non c'è convergenza uniforme.

Va bene?

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[Mephlip]

Buonasera! Come hai ottenuto la disuguaglianza $\frac{n}{2}e^{-n^2 \frac{a^2}{4}}|a|>\frac{1}{|a|}$? È falsa quando $n$ diventa opportunamente grande: il membro di sinistra tende a $0$ per $n\to+\infty$ per ogni $a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ mentre il membro di destra è strettamente positivo e costante in $n$ (quindi rimane strettamente positivo anche per $n \to +\infty$).