Esercizio su convergenza serie di funzioni
Ciao! Avrei bisogno di delucidazioni su un esercizio che chiede di calcolare la convergenza puntuale e uniforme di una serie di funzioni. La serie in questione è
$f_{n} (x) = sum_(n = \0) ^( oo ) (n+1)/(n+2) (x)/((1+|x|)^n), x \in \R $
Per la convergenza puntuale, si ha
$\lim_{n\rightarrow \infty } f_{n}(x) = 0 \ \ \ (x\ne 0)$
e
$ \ 0 \ \ \ (x = 0)$,
quindi la funzione $ f(x) $ candidata per controllare la convergenza uniforme sarà $ f(x) = 0 $.
Per la convergenza uniforme, calcolando per $ x > 0 $, applicando la definizione secondo cui $ f_{n}(x) $ converge uniformemente a $ f(x) $ se
$\lim_{n\rightarrow \infty } \ sup |f_{n}(x) - f(x)| = 0$
si trova con dei calcoli non troppo difficili che il sup risulta essere nel punto in cui
$ x = 1/(n-1) $ e sostituendo $ 1/(n-1) $ a $ x $ nella nostra $ f_{n}(x) $ si ottiene
$\lim_{n\rightarrow \infty } \ sup |f_{n}(x) - f(x)|= \lim_{n\rightarrow \infty } sup |f_{n}(x)|$ (dal momento che $ f(x) = 0 $)
$ = \lim_{n\rightarrow \infty } (n+1)/(n+2) 1/(n-1) 1/(1+1/(n-1))^n = 0 $
Ma il professore, risolvendo l'esercizio, non utilizza questo procedimento, ma il seguente:
https://ibb.co/fiDZrk
https://ibb.co/j6RhcQ
(Scusate per i due link separati)
Non capisco come mai applicando la definizione di convergenza uniforme si abbia un risultato differente rispetto a quello trovato dal professore. Oltretutto non ho mai incontrato negli esercizi la necessità di valutare la convergenza della serie, mi sono sempre imbattuto in casi in cui la risoluzione prevedeva il calcolo del limite.
Scusate per il posto lungo!
Edit: mi ero dimenticato di citare la fonte dell'esercizio e della risoluzione postata in foto, Roberto Monti, professore presso Unipd.
$f_{n} (x) = sum_(n = \0) ^( oo ) (n+1)/(n+2) (x)/((1+|x|)^n), x \in \R $
Per la convergenza puntuale, si ha
$\lim_{n\rightarrow \infty } f_{n}(x) = 0 \ \ \ (x\ne 0)$
e
$ \ 0 \ \ \ (x = 0)$,
quindi la funzione $ f(x) $ candidata per controllare la convergenza uniforme sarà $ f(x) = 0 $.
Per la convergenza uniforme, calcolando per $ x > 0 $, applicando la definizione secondo cui $ f_{n}(x) $ converge uniformemente a $ f(x) $ se
$\lim_{n\rightarrow \infty } \ sup |f_{n}(x) - f(x)| = 0$
si trova con dei calcoli non troppo difficili che il sup risulta essere nel punto in cui
$ x = 1/(n-1) $ e sostituendo $ 1/(n-1) $ a $ x $ nella nostra $ f_{n}(x) $ si ottiene
$\lim_{n\rightarrow \infty } \ sup |f_{n}(x) - f(x)|= \lim_{n\rightarrow \infty } sup |f_{n}(x)|$ (dal momento che $ f(x) = 0 $)
$ = \lim_{n\rightarrow \infty } (n+1)/(n+2) 1/(n-1) 1/(1+1/(n-1))^n = 0 $
Ma il professore, risolvendo l'esercizio, non utilizza questo procedimento, ma il seguente:
https://ibb.co/fiDZrk
https://ibb.co/j6RhcQ
(Scusate per i due link separati)
Non capisco come mai applicando la definizione di convergenza uniforme si abbia un risultato differente rispetto a quello trovato dal professore. Oltretutto non ho mai incontrato negli esercizi la necessità di valutare la convergenza della serie, mi sono sempre imbattuto in casi in cui la risoluzione prevedeva il calcolo del limite.
Scusate per il posto lungo!
Edit: mi ero dimenticato di citare la fonte dell'esercizio e della risoluzione postata in foto, Roberto Monti, professore presso Unipd.
Risposte
"Dr3vv":
Ciao! Avrei bisogno di delucidazioni su un esercizio che chiede di calcolare la convergenza puntuale e uniforme di una serie di funzioni. La serie in questione è
$f_{n} (x) = sum_(n = \0) ^( oo ) (n+1)/(n+2) (x)/((1+|x|)^n), x \in \R $
Gia' qui c'e' un non-sense: il membro di destra non dipende da $n$.
"Dr3vv":
Per la convergenza puntuale, si ha
$\lim_{n\rightarrow \infty } f_{n}(x) = 0 \ \ \ (x\ne 0)$
Anche qui non ha nessun senso mandare $n\to +\infty$...
Prima cosa: fissa $x$ e studia la serie come serie numerica con gli strumenti dell'analisi 1, oppure, se le conosci, osserva che l'esercizio riconduce ad una serie di potenze.
Ok grazie, devo dire che in un paio di posti ho trovato che, per studiare la convergenza puntuale, veniva fatto il limite. Procederò diversamente da ora in poi.
(Il membro a destra mi pare dipenda da n, anche se non ho capito di preciso a cosa tu ti riferisca)
(Il membro a destra mi pare dipenda da n, anche se non ho capito di preciso a cosa tu ti riferisca)
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