Esercizio su Convergenza puntuale ed uniforme

[IgnoranteDaSchifo]

Studiare la convergenza puntuale ed uniforme delle seguente successione di funzioni:

$f_n(x)=\int_{0}^{x}(1-t^(n-1))dt$ con $x in [0,1]$

Per via dell'integrale non mi è chiaro come soddisfare la consegna dell'esercizio...
Procederei cosi ad esempio:
Essendo $(1-t^(n-1))$ convergente uniformemente in $ [0,x] $ con $ 0 $\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{x}(1-t^(n-1))dt=\int_{0}^{x}\lim_{n \to \infty}(1-t^(n-1))dt$
per il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale.
Quindi:
$\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{x}(1-t^(n-1))dt=\int_{0}^{x} 1 dt=x$
La $f_n(x)$ converge quindi puntualmente ad $x$ per $x in [0,x]$.
Ora dovrei praticamente dimostrare che $\lim_{n \to \infty} $sup $x in [0,x] |f_n(x)-f(x)|=0$
Essendo $-t^(n-1)$ anch'essa continua e convergente uniformemente ho:
$\lim_{n \to \infty}$sup $x in [0,x] \int_{0}^{x}(-t^(n-1))dt=\int_{0}^{x}\lim_{n \to \infty}$sup $x in [0,x](-t^(n-1))dt$
essendo $-t^(n-1)$ decrescente l'estremo superiore sarà zero,quindi quest'ultimo limite è uguale a zero, per cui la $f_n(x)$ converge uniformemente in $[0,x]$.

Mi sa che ho scritto una boiata...

grazie ragazzi.

[theras]

Invece direi che ti sei "solo" un pò perso alla fine,in quegli estremi superiori,ma le altre idee sono buone;
per completare come si deve,invece di richiamare proposizioni delle quali sei poco convinto(a ragione..),
osserva piuttosto che $"sup"_(z in [0,x])|f_n(z)-f(z)|="sup"_(z in [0,x])|int_0^z(1-t^(n-1))dt-int_0^z 1* dt|=$
$=..="sup"_(z in [0,x])|int_0^z -t^(n-1)dt="sup"_(z in [0,x])|(z^n)/n|=(|x|^n)/n$ $AAn inNN,AA x in[0,1)$:
a te la conclusione..
Saluti dal web.

[IgnoranteDaSchifo]

e $ |x|^(n)/n $ tende a zero per n che tende ad infinito.
Quindi la successione converge uniformemente in $[0,x]$
Usi $z$ per indicare l'estremo superiore dell'intervallo,o semplicemente un numero qualsiasi dell'intervallo?

[theras]

Scelgo la $z$ per evitare confusione tra l'estremo superiore d'integrazione e quello dell'intervallo nel quale,
ai fini del calcolo del termine generale di quella "famosa" successione d'estremi superiori ,
esso è vincolato a variare:
quest'ultimo lo avevi indicato con $x$..
Stà attento in seguito,
che quando s'è agli inizi su questi argomenti è facile "confondere i pupi" come hai fatto:
per il resto,comunque,ti ribadisco che ho letto buone cose..
Saluti dal web.