Esercizio su convergenza puntuale e uniforme
Ciao a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio e probabilmente sbaglio il modo di procedere. Il testo chiede di studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente successione di funzione: $f_n(x)=nx/(1+n^2x^2)$
1)convergenza puntuale; faccio il limite per $n->\oo$ di $f_n$ e risulta $1/(nx)=0$ quindi la successione di funzione $f_n(x)$ converge puntualmente alla funzione $f(x)=0$
2)convergenza uniforme; trovo il sup$|f_n(x)-f(x)|$ che è uguale al max di $f_n(x)$. $f'_n(x)=(n-n^3x^2)/(1+n^2x^2)^2$ ed il max è in corrispondenza del punto $x=1/n$. sostituisco il valore in $|f_n(x)|=1/2$ che è diverso da 0 quindi non dovrebbe convergere uniformemente. Invece è sbagliato e converge per un valore positivo qualsiasi..dove sbaglio?
1)convergenza puntuale; faccio il limite per $n->\oo$ di $f_n$ e risulta $1/(nx)=0$ quindi la successione di funzione $f_n(x)$ converge puntualmente alla funzione $f(x)=0$
2)convergenza uniforme; trovo il sup$|f_n(x)-f(x)|$ che è uguale al max di $f_n(x)$. $f'_n(x)=(n-n^3x^2)/(1+n^2x^2)^2$ ed il max è in corrispondenza del punto $x=1/n$. sostituisco il valore in $|f_n(x)|=1/2$ che è diverso da 0 quindi non dovrebbe convergere uniformemente. Invece è sbagliato e converge per un valore positivo qualsiasi..dove sbaglio?
Risposte
Il problema è: converge a cosa ?
Qual è la funzione a cui converge ?
Qual è la funzione a cui converge ?
Se intendi la soluzione allora converge puntualmente a $f(x)=0$ se $x=0$ e a $f(x)=1/(x^2+1)$ se $x>0$ mentre la convergenza è uniforme su intervalli della forma $[r,oo)$ con $r>0$. Poiche a me viene $1/2$ per qualsiasi x non mi converge uniformemente
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