Esercizio su convergenza puntuale e totale
Avrei dei dubbi per quanto riguarda le serie di funzioni: quando è possibile, ci si può ricondurre (mediante una sostituzione) ad una serie di potenze, per la quale vale tutta la relativa teoria delle serie di potenze; da quanto ho capito, una volta trovato l'intervallo di convergenza, esiste in quest'ultimo un sotto intervallo chiuso e compatto in cui la serie converge totalmente.
Ad esempio, in questo esercizio:
Determinare l'insieme di convergenza e studiare la convergenza totale della seguente serie di funzioni
$ sum_(n=1) ^ (+oo) (n+1)^(1/2)/(3n-1)*(log(x) +1)^(n) $
una volta trovato l'intervallo di convergenza (dopo essermi ricondotto ad una serie di potenze), ho provato a studiare la convergenza totale, ma non sono riuscito a trovare una successioni convergente per cui $ |f_n(x)|<=M_n $. In particolare, ho posto che:
$ (n+1)^(1/2)/(3n-1)*(log(x)+1)^(n)<= (n+1)^(1/2)/(3n-1)=M_n, AA x in (0,e), AA nin N. $
Ma la successione M_n in questione diverge, dunque non posso stabilire alcunché.
Sapreste consigliarmi come procedere?
Ad esempio, in questo esercizio:
Determinare l'insieme di convergenza e studiare la convergenza totale della seguente serie di funzioni
$ sum_(n=1) ^ (+oo) (n+1)^(1/2)/(3n-1)*(log(x) +1)^(n) $
una volta trovato l'intervallo di convergenza (dopo essermi ricondotto ad una serie di potenze), ho provato a studiare la convergenza totale, ma non sono riuscito a trovare una successioni convergente per cui $ |f_n(x)|<=M_n $. In particolare, ho posto che:
$ (n+1)^(1/2)/(3n-1)*(log(x)+1)^(n)<= (n+1)^(1/2)/(3n-1)=M_n, AA x in (0,e), AA nin N. $
Ma la successione M_n in questione diverge, dunque non posso stabilire alcunché.
Sapreste consigliarmi come procedere?
Risposte
Se ho capito bene hai assunto $lnx+1<1$, da cui le disuguaglianze successive, ciò che devi fare è assumere $lnx+1<=\alpha<1$, così ottieni la convergenza totale.
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