Esercizio su convergenza di una serie e relativo resto
Salve a tutti,
sono un nuovo utente e vorrei provare a sottopormi un esercizio con un mia possibile soluzione, ma che dubito sia corretta.
Si tratta di verificare la convergenza di una serie e di calcolarne il numero di elementi da sommare purchè l'errore sia inferiore a $10^-3$ .
La serie da controllare è questa:
$\sum_{n=0}^\infty (n + ln(n)^2)/(n^5+3n^2+1)$
1) Ho verificato la condizione necessaria, ma non sufficiente che implica il termine generale della serie tenda a 0 per n che tende a infinito. ( $a_n \to 0 \text( per ) n \to \infty$ )
2) Sapendo che se una serie maggiorante è convergente, allora anche la minorante converge.
Faccio la maggiorazione eliminando i monomi con grado inferiore a 5 al denominatore e elimino il logaritmo al numeratore.
$\sum_{n=0}^\infty (n + ln(n)^2)/(n^5+3n^2+1)$ $<=$ $\sum_{n=1}^\infty n/n^5$ $=$ $\sum_{n=1}^\infty 1/n^4$
Essendo la serie maggiorante convergente (serie armonica generalizzata) allora converge anche la serie di partenza.
Poi devo trovare il numero di elementi da sommare affinchè si abbia un errore minore di $10^-3$.
Io ho posto $1/n^4 <= 10^-3$.
Mi risulta che $ n >= 10^(3/4) $ ovvero $ n >= 6 $.
Può essere vero simile questo risultato?
Ringrazio fin da ora chiunque mi aiuti.
sono un nuovo utente e vorrei provare a sottopormi un esercizio con un mia possibile soluzione, ma che dubito sia corretta.
Si tratta di verificare la convergenza di una serie e di calcolarne il numero di elementi da sommare purchè l'errore sia inferiore a $10^-3$ .
La serie da controllare è questa:
$\sum_{n=0}^\infty (n + ln(n)^2)/(n^5+3n^2+1)$
1) Ho verificato la condizione necessaria, ma non sufficiente che implica il termine generale della serie tenda a 0 per n che tende a infinito. ( $a_n \to 0 \text( per ) n \to \infty$ )
2) Sapendo che se una serie maggiorante è convergente, allora anche la minorante converge.
Faccio la maggiorazione eliminando i monomi con grado inferiore a 5 al denominatore e elimino il logaritmo al numeratore.
$\sum_{n=0}^\infty (n + ln(n)^2)/(n^5+3n^2+1)$ $<=$ $\sum_{n=1}^\infty n/n^5$ $=$ $\sum_{n=1}^\infty 1/n^4$
Essendo la serie maggiorante convergente (serie armonica generalizzata) allora converge anche la serie di partenza.
Poi devo trovare il numero di elementi da sommare affinchè si abbia un errore minore di $10^-3$.
Io ho posto $1/n^4 <= 10^-3$.
Mi risulta che $ n >= 10^(3/4) $ ovvero $ n >= 6 $.
Può essere vero simile questo risultato?
Ringrazio fin da ora chiunque mi aiuti.
Risposte
Una cosa è trovare un $N$ tale che $a_N < \epsilon$; tutt'altra cosa è trovare un $N$ tale che \( \left|\sum_{i=0}^N a_i - \sum_{i=0}^\infty a_i\right| < \epsilon\) 
Tu hai cercato di rispondere alla seconda domanda con la prima.
Un'idea è usare una stima integrale: detto $R_n =\left|\sum_{i=0}^N a_i - \sum_{i=0}^\infty a_i\right| $ si ha
\[
R_n \ge \int_{n+1}^\infty \frac{1}{x^4}dx = \frac{1}{3(n+1)^3}
\]
(vedi qui o in qualsiasi libro di Analisi). Sicché si tratta di risolvere la disequazione
\[
10^{-3} \ge \frac{1}{3(n+1)^3}
\]
Tu hai cercato di rispondere alla seconda domanda con la prima.
Un'idea è usare una stima integrale: detto $R_n =\left|\sum_{i=0}^N a_i - \sum_{i=0}^\infty a_i\right| $ si ha
\[
R_n \ge \int_{n+1}^\infty \frac{1}{x^4}dx = \frac{1}{3(n+1)^3}
\]
(vedi qui o in qualsiasi libro di Analisi). Sicché si tratta di risolvere la disequazione
\[
10^{-3} \ge \frac{1}{3(n+1)^3}
\]
Grazie mille
Il risultato sarebbe $n >= root(3)(1000/3) -1$ ?
Il risultato sarebbe $n >= root(3)(1000/3) -1$ ?
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