Esercizio su continuità
Salve a tutti il 20 ho l'esame di analisi 1 e per prepararmi sto facendo degli esercizi presi da vecchi esami che ci ha fornito il professore. Tutti gli esami sono composti da uno studio di funzione, un limite, un integra e due esercizi di statistica. Solo in uno, al posto del limite, compare questo esercizio che non ho mai visto:
Per quali valori del parametro di $a$ la seguente funzione è continua?
$ f(x)={ ( aln(x)+2; x>=1 ),( 3x^2+a^2-1; x<1):} $ il risultato dovrebbe essere $a=0$.
Io non so proprio dove mettergli mano perchè non mi è mai capitato un esercizio simile. Potete gentilmente dirmi come procedere? Se potete datemi anche una breve spiegazione per capirci qualcosa.
Grazie in anticipo:)
Per quali valori del parametro di $a$ la seguente funzione è continua?
$ f(x)={ ( aln(x)+2; x>=1 ),( 3x^2+a^2-1; x<1):} $ il risultato dovrebbe essere $a=0$.
Io non so proprio dove mettergli mano perchè non mi è mai capitato un esercizio simile. Potete gentilmente dirmi come procedere? Se potete datemi anche una breve spiegazione per capirci qualcosa.
Grazie in anticipo:)
Risposte
Una funzione si dice continua a destra in $x_0$ se $lim_(x->x_0^+)f(x)=f(x_0)$
Una funzione si dice continua a sinistra in $x_0$ se $lim_(x->x_0^-)f(x)=f(x_0)$
Una funzione è continua in un punto se e solo se è ivi continua a destra e a sinistra.
Quindi $lim_(x->x_0^+)f(x)=lim_(x->x_0^-)f(x)=f(x_0)$. Perciò?
Una funzione si dice continua a sinistra in $x_0$ se $lim_(x->x_0^-)f(x)=f(x_0)$
Una funzione è continua in un punto se e solo se è ivi continua a destra e a sinistra.
Quindi $lim_(x->x_0^+)f(x)=lim_(x->x_0^-)f(x)=f(x_0)$. Perciò?
Scusami ma non riesco a capire. Il punto $x_0$ di cui parli è $1$ giusto? Devo fare i limiti delle due funzioni?
Allora, prima di tutto ti serve sapere anche il dominio della funzione. L'unica condizione da porre è $x > 0$ (argomento del logaritmo strettamente positivo). Poiché però la funzione in cui compare il logaritmo è già definita solo per $x \geq 1$ tale condizione è sempre banalmente soddisfatta.
Riguardo alla continuità prima calcoli $f(1)$ (basta che guardi come è definita la funzione) e poi basta che vedi quando le condizioni che imponi per limite destro e quello sinistro di essere uguali ad 1 sono verificate. Attenzione: a te interessa sapere, per queste ultime, per quali a sono verificate e non per quali x (poiché x assumerà il valore considerato nel punto, ossia 1). Risolvendo il sistema corrispondente vedrai che la soluzione è proprio $a = 0$.
Come sempre chiedi pure se hai ulteriori dubbi, spero di esserti stato d'aiuto intanto.
Riguardo alla continuità prima calcoli $f(1)$ (basta che guardi come è definita la funzione) e poi basta che vedi quando le condizioni che imponi per limite destro e quello sinistro di essere uguali ad 1 sono verificate. Attenzione: a te interessa sapere, per queste ultime, per quali a sono verificate e non per quali x (poiché x assumerà il valore considerato nel punto, ossia 1). Risolvendo il sistema corrispondente vedrai che la soluzione è proprio $a = 0$.
Come sempre chiedi pure se hai ulteriori dubbi, spero di esserti stato d'aiuto intanto.
Certo prima calcoli il $lim_(x->1^-)f(x)$ e poi il $lim_(x->1^+)f(x)$. Imponi la loro uguaglianza e quindi $lim_(x->1^-)f(x)=lim_(x->1^+)f(x)$ e alla fine risolvi l'equazione.
Scusate ma il $ lim_(x -> 1^-) { ( alnx+2 ),( 3x^2+a^2 ):} = { ( aln1+2 ),( 3+a^2 ):}={ ( 2 ),( 3+a^2-1):} $ ho fatto giusto?
E lo stesso risultato lo ho per il $lim_(x$->1^+)$ giusto? Adesso come devo procedere?
Grazie per la pazienza:)
E lo stesso risultato lo ho per il $lim_(x$->1^+)$ giusto? Adesso come devo procedere?
Grazie per la pazienza:)
l'esercizio non è poi così strano, potresti modificare il titolo con qualcosa di più specifico (tipo "esercizio su continuità")?
Nel tuo ultimo post non hai dimenticato un $-1$?
osserva il testo dell'esercizio come lo hai scritto all'inizio
Nel tuo ultimo post non hai dimenticato un $-1$?
osserva il testo dell'esercizio come lo hai scritto all'inizio
"Titoaguero":
Per quali valori del parametro di $a$ la seguente funzione è continua?
$ f(x)={ ( aln(x)+2; x>=1 ),( 3x^2+a^2-1; x<1):} $ il risultato dovrebbe essere $a=0$.
Devi fare il limite destro: $lim_(x->1^+)f(x)=lim_(x->1^+)(alnx+2)=2$, poi il limite sinistro $lim_(x->1^-)f(x)=lim_(x->1^-)(3x^2+a^2-1)=2+a^2$. Ora devi risolvere l'equazione $2=2+a^2$ per trovare il valore di $a$.
"gio73":
l'esercizio non è poi così strano, potresti modificare il titolo con qualcosa di più specifico (tipo "esercizio su continuità")?
Nel tuo ultimo post non hai dimenticato un $-1$?
osserva il testo dell'esercizio come lo hai scritto all'inizio
Grazie mille e comunque hai ragione l'esercizio non è affatto strano ma per me lo era ahah
"anonymous_c5d2a1":
Devi fare il limite destro: $ lim_(x->1^+)f(x)=lim_(x->1^+)(alnx+2)=2 $, poi il limite sinistro $ lim_(x->1^-)f(x)=lim_(x->1^-)(3x^2+a^2-1)=2+a^2 $. Ora devi risolvere l'equazione $ 2=2+a^2 $ per trovare il valore di $ a $.
Grazie mille ora ho capito come devo procedere al di là del fatto che tu abbia risolto l'esercizio. Grazie ancora:)
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