Esercizio su campo vettoriale
Ciao a tutti , sto facendo esercizi in vista dell'esame e vorrei chiedervi delle conferme e consigli !
L'esercizio è il seguente : Si consideri il campo vettoriale in $R^2 \ {(0, 0)}$ , $F(x,y)= ((9x)/(9x^2+y^2),y/(9x^2 +y^2))$ . Si calcoli :
1) Il rotore fuori dall'origine ;
2) Il lavoro lungo la curva $x^2 + y^2 -1 =0$ percorsa in senso antiorario;
3) Si stabilisca se è conservativo e , in caso affermativo , calcolarne il potenziale.
Io l'ho svolto così :
1) CALCOLO DEL ROTORE
$rot F = [[i,j,k],[\partial/partial x,\partial/partial y,\partial/partial z],[9x/(9x^2+y^2),y/(9x^2 +y^2),0]]$ con potentissimi calcoli se non ho sbagliato viene rot F = 0 , il campo vettoriale F è irrotazionale .
2 IL LAVORO
devo calcolare un integrale di linea :
parametrizzo la curva che è la circonferenza unitaria : $\gamma(t)=(cost,sent)$ con $t \in [0,2 \pi]$ .
$\gamma '(t)=(-sent,cost)$ , $F(\gamma (t))((9cost)/(9cost^2+sent^2),(sent)/(9cost^2 +sent^2))=$
quindi $int_\gamma F dr = int_0^2\pi ((9cost)/(9cost^2+sent^2),(sent)/(9cost^2 +sent^2))(-sent,cost) dt$. Questo integrale dovrebbe essere(sempre se non ho sbagliato i calcoli) Zero !!
Quindi posso dire che il campo è conservativo , giusto ??
3 IL POTENZIALE
dato che il campo dovrebbe essere conservativo , allora calcolo il potenziale ; qui ho più dubbi perchè non ho capito bene un metodo standard per calcolarlo ; il mio professore dice che posso capirlo ad occhio dicendo che $((\partial V )/(partial x)) =(9x)/(9x^2+y^2)$ cioè che la derivata parziale rispetto ad x del potenziale deve essere uguale alla prima componente del campo e quindi così a mente ho trovato che $V=1/2 log(9x^2 +y^2)$. Ma mi devo fermare qui ??
Grazie mille
L'esercizio è il seguente : Si consideri il campo vettoriale in $R^2 \ {(0, 0)}$ , $F(x,y)= ((9x)/(9x^2+y^2),y/(9x^2 +y^2))$ . Si calcoli :
1) Il rotore fuori dall'origine ;
2) Il lavoro lungo la curva $x^2 + y^2 -1 =0$ percorsa in senso antiorario;
3) Si stabilisca se è conservativo e , in caso affermativo , calcolarne il potenziale.
Io l'ho svolto così :
1) CALCOLO DEL ROTORE
$rot F = [[i,j,k],[\partial/partial x,\partial/partial y,\partial/partial z],[9x/(9x^2+y^2),y/(9x^2 +y^2),0]]$ con potentissimi calcoli se non ho sbagliato viene rot F = 0 , il campo vettoriale F è irrotazionale .
2 IL LAVORO
devo calcolare un integrale di linea :
parametrizzo la curva che è la circonferenza unitaria : $\gamma(t)=(cost,sent)$ con $t \in [0,2 \pi]$ .
$\gamma '(t)=(-sent,cost)$ , $F(\gamma (t))((9cost)/(9cost^2+sent^2),(sent)/(9cost^2 +sent^2))=$
quindi $int_\gamma F dr = int_0^2\pi ((9cost)/(9cost^2+sent^2),(sent)/(9cost^2 +sent^2))(-sent,cost) dt$. Questo integrale dovrebbe essere(sempre se non ho sbagliato i calcoli) Zero !!
Quindi posso dire che il campo è conservativo , giusto ??
3 IL POTENZIALE
dato che il campo dovrebbe essere conservativo , allora calcolo il potenziale ; qui ho più dubbi perchè non ho capito bene un metodo standard per calcolarlo ; il mio professore dice che posso capirlo ad occhio dicendo che $((\partial V )/(partial x)) =(9x)/(9x^2+y^2)$ cioè che la derivata parziale rispetto ad x del potenziale deve essere uguale alla prima componente del campo e quindi così a mente ho trovato che $V=1/2 log(9x^2 +y^2)$. Ma mi devo fermare qui ??
Grazie mille
Risposte
Ciao. Credo ti possa essere utile questo topic, in particolare il calcolo che propone speculor a pagina 1 per trovare un potenziale.
Grazie , do subito un'occhiata !! Ma i primi due punti come ti sembrano ??
Ho visto solo il primo perchè sono di corsa, il rotore mi sembra giusto che sia identicamente zero, quindi se non dico bestialità questo basta a dire che è conservativo e che l'integrale di cui al punto 2 dovrebbe essere necessariamente nullo, ciao
Il rotore nullo basta a dire che il campo è conservativo se però si verifica anche che il dominio è semplicemente connesso , cosa che in questo non avviene ! Quindi in ogni caso per verificarlo avrei dovuto vedere che il lavoro era nullo , credo.
Ciao =)
Ciao =)
E hai ragione sulla faccenda della connessione... L'avevo detto che forse dicevo una bestialità 
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