Esercizio su Algebra di Banach
Ciao a tutti!!
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere il seguente esercizio:
data un'algebra di Banach \(\displaystyle A \) con unità \(\displaystyle e \), devo provare che non esistono \(\displaystyle x,y \in A \) tali che \(\displaystyle xy-yx=e \) e lo devo fare usando gli spettri \(\displaystyle \sigma(xy) \) e \(\displaystyle \sigma(yx) \).
Che si fa??? HELPPPPPPPPPPPPP ME!!!
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere il seguente esercizio:
data un'algebra di Banach \(\displaystyle A \) con unità \(\displaystyle e \), devo provare che non esistono \(\displaystyle x,y \in A \) tali che \(\displaystyle xy-yx=e \) e lo devo fare usando gli spettri \(\displaystyle \sigma(xy) \) e \(\displaystyle \sigma(yx) \).
Che si fa??? HELPPPPPPPPPPPPP ME!!!
Risposte
Chi è \(\displaystyle\sigma\)? L'algebra è associativa?, commutativa?, reale o complessa?
\(\displaystyle \sigma \) è lo spettro, con \(\displaystyle \sigma(xy) \) indico lo spettro dell'elemento \(\displaystyle xy \).
L'algebra, ovviamente, non è commutativa, è complessa, è associativa!
L'algebra, ovviamente, non è commutativa, è complessa, è associativa!
Mi scuso, ma non essendo un geometra non-comutativo, non sono molto avvezzo con queste...
Se non sbaglio:
\[
\sigma(x)=\{y\in\mathbb{A}:1-xy\,\,\text{è invertibile}\}
\]
e per vago ricordo, dovresti ragionare per assurdo per via topologica: gli spettri degli elementi di \(\displaystyle\mathbb{A}\) sono riguardabili come insiemi chiusi in qualche topologia?
Se non sbaglio:
\[
\sigma(x)=\{y\in\mathbb{A}:1-xy\,\,\text{è invertibile}\}
\]
e per vago ricordo, dovresti ragionare per assurdo per via topologica: gli spettri degli elementi di \(\displaystyle\mathbb{A}\) sono riguardabili come insiemi chiusi in qualche topologia?
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