Esercizio studio di funzione
Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio relativo allo studio di funzione:
data la funzione :
$ f(x)=arctan((x*x^(1/2))/(x-1)) $
determinare dominio ed eventuali asintoti, studiare la derivabilità, determinare estremi relativi ed intervalli di monotonia e disegnare un grafico approssimativo.
Riassumo brevemente le informazioni fino ad ora trovate ( sperando siano corrette ):
$ domf=[0,1[uu]1,+oo [ $
$ y=pi /2 $ asintoto orizzontale destro
$ f'(x)=((x^(1/2))*(x-3))/((x^3+x^2-2x+1)2) $
x=0 , x=3 estremi relativi ( rispettivamente massimo e minimo relativo )
f crescente in $ ]3,+oo [ $
f decrescente in $ ]0,3[ $
riguardo lo studio del segno della derivata prima credo ci sia qualche errore, confrontando il grafico che ottengo con quello ottenuto con un programma online le differenze sono notevoli
Inoltre, ho problemi con lo studio della derivabilità! Da quanto ho capito calcolando i limiti laterali del rapporto incrementale per x che tende ad un certo punto x0, in base al risultato dei limiti destro e sinistro, posso dedurre se il punto x0 è angoloso, cuspidale o di flesso a tangente verticale! Non riesco però a capire con che criterio scegliere x0
in realtà una mezza idea c'è l'avrei ma sono ben accette spiegazioni 
Grazie in anticipo
data la funzione :
$ f(x)=arctan((x*x^(1/2))/(x-1)) $
determinare dominio ed eventuali asintoti, studiare la derivabilità, determinare estremi relativi ed intervalli di monotonia e disegnare un grafico approssimativo.
Riassumo brevemente le informazioni fino ad ora trovate ( sperando siano corrette ):
$ domf=[0,1[uu]1,+oo [ $
$ y=pi /2 $ asintoto orizzontale destro
$ f'(x)=((x^(1/2))*(x-3))/((x^3+x^2-2x+1)2) $
x=0 , x=3 estremi relativi ( rispettivamente massimo e minimo relativo )
f crescente in $ ]3,+oo [ $
f decrescente in $ ]0,3[ $
riguardo lo studio del segno della derivata prima credo ci sia qualche errore, confrontando il grafico che ottengo con quello ottenuto con un programma online le differenze sono notevoli
Inoltre, ho problemi con lo studio della derivabilità! Da quanto ho capito calcolando i limiti laterali del rapporto incrementale per x che tende ad un certo punto x0, in base al risultato dei limiti destro e sinistro, posso dedurre se il punto x0 è angoloso, cuspidale o di flesso a tangente verticale! Non riesco però a capire con che criterio scegliere x0
in realtà una mezza idea c'è l'avrei ma sono ben accette spiegazioni Grazie in anticipo
Risposte
Ciao. Intanto
f crescente in $]3,+infty[$
f decrescente in $[0,1[ uu ]1,3]$
f crescente in $]3,+infty[$
f decrescente in $[0,1[ uu ]1,3]$
Allora quando tu studi la derivata di una funzione hai punti dove la derivata si annulla e punti dove la derivata non esiste.
I punti dove si annulla possono essere: massimi, minimi o flessi a tangente orizzontale.
I punti dove la derivata non esiste possono essere punti angolosi, flessi a tangente verticale o cuspidi.
Per capire quale di essi devi fare i limiti.
Nel tuo caso il dominio della derivata è $[0,+infty[$ e gli zeri sono per $x=0$ e $x=3$?
Quindi controlli i punti 0 e 3:
3 è sicuramente un minimo e sullo 0 non credo che tu possa dire molto perchè a sinistra la f non esiste.
Poi controlli 0: (perchè è un punto "al limite" per quanto riguarda il dominio della derivata)
Anche qua non puoi fare entrambi i limiti perchè f non è definita per $x<0$; peró teoricamente avresti dovuto fare i limiti della f'(x) e, in base ai risultati, dire quale tipo di punto fosse.
I punti dove si annulla possono essere: massimi, minimi o flessi a tangente orizzontale.
I punti dove la derivata non esiste possono essere punti angolosi, flessi a tangente verticale o cuspidi.
Per capire quale di essi devi fare i limiti.
Nel tuo caso il dominio della derivata è $[0,+infty[$ e gli zeri sono per $x=0$ e $x=3$?
Quindi controlli i punti 0 e 3:
3 è sicuramente un minimo e sullo 0 non credo che tu possa dire molto perchè a sinistra la f non esiste.
Poi controlli 0: (perchè è un punto "al limite" per quanto riguarda il dominio della derivata)
Anche qua non puoi fare entrambi i limiti perchè f non è definita per $x<0$; peró teoricamente avresti dovuto fare i limiti della f'(x) e, in base ai risultati, dire quale tipo di punto fosse.
Studia anche cosa succede a f(x) per $ xrarr1^+- $ e il segno della funzione...
grazie a tutti
quindi per trovare i punti in cui la derivata prima non esiste devo determinare il dominio della derivata stessa? dopo di che con i limiti laterali studio di che tipo di punti si tratta?
quindi per trovare i punti in cui la derivata prima non esiste devo determinare il dominio della derivata stessa? dopo di che con i limiti laterali studio di che tipo di punti si tratta?
Esatto:
Facendo il dominio di:
-$f(x)$ scopri quando la funzione è continua
-$f'(x)$ scopri quando è derivabile
Ponendo uguale a 0:
-$f(x)$ trovi le radici della funzione (intersezioni con asse delle x)
-$f'(x)$ trovi i punti di max, min e flesso a tangente orizzontale.
Facendo il dominio di:
-$f(x)$ scopri quando la funzione è continua
-$f'(x)$ scopri quando è derivabile
Ponendo uguale a 0:
-$f(x)$ trovi le radici della funzione (intersezioni con asse delle x)
-$f'(x)$ trovi i punti di max, min e flesso a tangente orizzontale.
ok, grazie mille
De nada 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo