Esercizio studio delle singolarità e residui

[Uomosenzasonno]

Ciao a tutti. In pratica ho provato a svolgere un compito d'esame sul calcolo dei residui e studio delle singolarità. Vi posto la mia soluzione per capire se ragiono bene o male, visto che ho molti dubbi:

Esercizio: Studiare i punti i solati, classificarli e calcolare i residui della seguente:

$f(z) = (sin^2z) / (z(z^2+1))$

Allora, io ho sviluppato in serie di Taylor centrata in 0 il $sin^2z$:

$sin^2z = 0 + (2sinz_0cos^2z_0)/(1)z + (cos^3z_0 + 0)/(2!)z^2 + o = 0+0+(z^2)/2$

Sostituisco nella f(z) e ho:

$f(z) = (z)/((z^2+1))$

Percui, se è giusto quello che ho fatto fin ora, mi vengono due singolarità isolate in $+-i$.

Ponogo

$lim_(z -> +-i) |f(z)|$ e, venendo tt 2 infiniti, risulta che $+-i$ sono due poli di molteplicità 1 ognuno.

Poi calcolo i residui:

$f(z)=(z)/((z+i)(z-i)) => Res(f(z);i) = i/(2i) = 1/2, Res(f(z);-i) = i/(-2i) = -1/2$

Ci sono?

[balestrav]

In realtà non puoi semplicemente sostituire alla funzione i primi termini dello sviluppo di taylor e fare calcoli su quella che non siano limiti. Ad esempio il calcolo dei residui va effettuato sulla funzione iniziale, mentre va bene che tu abbia stabilito che quelli sono poli avendo utilizzao o sviluppo per calcolare i limiti. Inoltre esiste un'altra singolarità che è lo zero, in quanto si ha uno zeta al denominatore. ovviamente è una singolarità eliminabile

[Uomosenzasonno]

Quindi per quanto riguarda la classificazione devo comunque considerare la singolarità fittizia, chiaro.

Non ho capito allora come calcolare i residui in con una funzione del genere. Mi puoi spiegare come dovrei procedere?

Cioè in teoria dovrei fare

$lim_(z -> +-i) (sen^2z)/(z(z+i)(z-i))*(z+-i)$

no? :S

[balestrav]

si, esatto!