Esercizio struttura limite
Ciao a tutti, sono tornato con un'altro piccolo esercizio che mi pone un piccolo blocco. Risolvere
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{2x + \sin(4x)}{ \tan(x) }} \)
il mio procedimento è quello di spezzare il limite ottenendo quindi
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}{ \frac{2x}{\tan(x)} + \lim_{x \to 0}{ \frac{\sin(4x)}{\tan(x)}}} \)
il secondo limite è di facile risoluzione mediante i limiti notevoli ed esce \(\displaystyle 4 \)
per quanto riguarda il primo limite ho qualche dubbio. So che dovrebbe uscire 2 ma quando uso il limite al numeratore mi esce ovviamente 0 e non capisco dove sbaglio.
VI ringrazio per l'eventuale spiegazione
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{2x + \sin(4x)}{ \tan(x) }} \)
il mio procedimento è quello di spezzare il limite ottenendo quindi
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}{ \frac{2x}{\tan(x)} + \lim_{x \to 0}{ \frac{\sin(4x)}{\tan(x)}}} \)
il secondo limite è di facile risoluzione mediante i limiti notevoli ed esce \(\displaystyle 4 \)
per quanto riguarda il primo limite ho qualche dubbio. So che dovrebbe uscire 2 ma quando uso il limite al numeratore mi esce ovviamente 0 e non capisco dove sbaglio.
VI ringrazio per l'eventuale spiegazione
Risposte
Dividi tutto per $x$
$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+\frac{\sin(4x)}{x}}{\frac{\tan(x)}{x}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+4\frac{\sin(4x)}{4x}}{\frac{1}{\cos(x)}\frac{\sin(x)}{x}}=6$$
$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+\frac{\sin(4x)}{x}}{\frac{\tan(x)}{x}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+4\frac{\sin(4x)}{4x}}{\frac{1}{\cos(x)}\frac{\sin(x)}{x}}=6$$
grazie mille della risposta cuspide 
un'ultima domanda. Ma da cosa capisco quando è necessario operare queste riduzioni algebriche per ottenere quel risultato del limite?
Cioè, cosa mi dice che nel primo limite il risultato non è 0 e quindi nel limite principale il risultato definito non è 4?
un'ultima domanda. Ma da cosa capisco quando è necessario operare queste riduzioni algebriche per ottenere quel risultato del limite?
Cioè, cosa mi dice che nel primo limite il risultato non è 0 e quindi nel limite principale il risultato definito non è 4?
Non capisco quale sia il problema. Comunque, ti trovi davanti ad una forma indeterminata di tipo $0/0$ che puoi eliminare , come avevi già intuito , utilizzando i limiti notevoli $lim_{x->0} sin(x)/x=1$ e $lim_{x->0} tan(x)/x = 1$.
Potresti utilizzare , in alternativa, gli sviluppi di Taylor, nel nostro caso sufficienti arrestati al primo ordine.
Cioé ,
sappiamo che $sinx = x+o(x) => sin(4x)=4x+o(x)$ e $tan(x) = x+o(x) $
dunque
$lim_{x->0} (2x+sin(4x))/(tan(x))= lim_{x->0} (6x+o(x))/(x+o(x)) =lim_{x->0} 6x/x = 6$
Potresti utilizzare , in alternativa, gli sviluppi di Taylor, nel nostro caso sufficienti arrestati al primo ordine.
Cioé ,
sappiamo che $sinx = x+o(x) => sin(4x)=4x+o(x)$ e $tan(x) = x+o(x) $
dunque
$lim_{x->0} (2x+sin(4x))/(tan(x))= lim_{x->0} (6x+o(x))/(x+o(x)) =lim_{x->0} 6x/x = 6$
"Ma da cosa capisco quando è necessario operare queste riduzioni algebriche per ottenere quel risultato del limite?"
Semplicemente l'esperienza.
Semplicemente l'esperienza.
grazie Kashaman dell'ulteriore risposta con Taylor ^^
"Semplicemente l'esperienza."
grazie della perla di saggezza
"Semplicemente l'esperienza."
grazie della perla di saggezza
Quello che scrive Kashaman è giusto, in realtà puoi usare diversi metodi per risolvere l'esercizio, ad esempio sia la funzione a numeratore che quella a denominatore sono funzioni continue e derivabili in $x_{0}=0$ per cui potresti anche usa Hopital.. etc etc..
Dato il tuo dubbio ho ipotizzato che fossi all'inizio dello studio dei limiti, e quindi ti consiglio ancora l'allenamento attraverso la "manipolazione algebrica", ovviamento sempre come ti ha ricordato Kashaman l'esperienza fa la sua parte.
Dato il tuo dubbio ho ipotizzato che fossi all'inizio dello studio dei limiti, e quindi ti consiglio ancora l'allenamento attraverso la "manipolazione algebrica", ovviamento sempre come ti ha ricordato Kashaman l'esperienza fa la sua parte.
@Cuspide
hai intuito bene infatti grazie ancora
hai intuito bene infatti
grazie ancora
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