Esercizio strano sulle successioni

[ultralion79]

Grazie per chi mi vorrà aiutare!
Sia an successione tale che $ |an-5|<2^(-883), AA n>1492 $
Quali sono vere?
(a) an è limitata
(b) an è convergente
(c) E insieme delle immagini di an ammette punti di accumulazione

Sarei propenso solo per la (b) quale definizione di convergenza di una successione, ma non so nemmeno come giustificare! Grazie mille!

[Studente Anonimo]

A me sembra che le uniche vere siano (a) e (c). Invece (b) in generale è falsa.

[gugo82]

"Martino":A me sembra che le uniche vere siano (a) e (c). Invece (b) in generale è falsa.

Anche (c), in generale, è falsa.
L'unica buona è la (a).

Ora ultralion79 dovrebbe riflettere un po' sul perché... E soprattutto sul perché la sua risposta sia quella più sbagliata di tutte.

[Studente Anonimo]

Ah giusto

[ultralion79]

"gugo82":[quote="Martino"]A me sembra che le uniche vere siano (a) e (c). Invece (b) in generale è falsa.

Anche (c), in generale, è falsa.
L'unica buona è la (a).

Ora ultralion79 dovrebbe riflettere un po' sul perché... E soprattutto sul perché la sua risposta sia quella più sbagliata di tutte.[/quote]

Forse perchè per la definizione di limite dovrebbe valere per ogni epsilon?
Le altre perchè? La (a) è vera perchè la successione sarebbe definitivamente limitata? Grazie!

[Mephlip]

"ultralion79":
Forse perchè per la definizione di limite dovrebbe valere per ogni epsilon?

Esatto. La distanza tra $a_n$ e $5$ è definitivamente "molto piccola", ma non è definitivamente arbitrariamente piccola.

"ultralion79":
La (a) è vera perchè la successione sarebbe definitivamente limitata?

E perché il fatto che sia definitivamente limitata implica la limitatezza? Prova a formalizzarlo.

[ultralion79]

"Mephlip":[quote="ultralion79"]
Forse perchè per la definizione di limite dovrebbe valere per ogni epsilon?

Esatto. La distanza tra $a_n$ e $5$ è definitivamente "molto piccola", ma non è definitivamente arbitrariamente piccola.

"ultralion79":
La (a) è vera perchè la successione sarebbe definitivamente limitata?

E perché il fatto che sia definitivamente limitata implica la limitatezza? Prova a formalizzarlo.[/quote]

L'essere definitivamente limitata implica che da un certo n0 in poi la successione è limitata, ma come lo dimostro che questo vale anche per gli indici minori di n0?

[ultralion79]

"gugo82":[quote="Martino"]A me sembra che le uniche vere siano (a) e (c). Invece (b) in generale è falsa.

Anche (c), in generale, è falsa.
L'unica buona è la (a).

Ora ultralion79 dovrebbe riflettere un po' sul perché... E soprattutto sul perché la sua risposta sia quella più sbagliata di tutte.[/quote]

Come mai la (c) in generale sarebbe falsa? C'è un controesempio? Grazie!

[ghira1]

"ultralion79":[
Come mai la (c) in generale sarebbe falsa? C'è un controesempio? Grazie!

$a_n=5$ per ogni $n$.

[gugo82]

"ultralion79":[quote="gugo82"][quote="Martino"]A me sembra che le uniche vere siano (a) e (c). Invece (b) in generale è falsa.

Anche (c), in generale, è falsa.
L'unica buona è la (a).

Ora ultralion79 dovrebbe riflettere un po' sul perché... E soprattutto sul perché la sua risposta sia quella più sbagliata di tutte.[/quote]

Come mai la (c) in generale sarebbe falsa? C'è un controesempio? Grazie![/quote]
Vedi il post di ghira.
Se fosse stato difficile crearlo, ti avrei dato qualche suggerimento...

[Mephlip]

"ultralion79":
L'essere definitivamente limitata implica che da un certo n0 in poi la successione è limitata, ma come lo dimostro che questo vale anche per gli indici minori di n0?

Vero, ma quanti sono gli indici fino a $n_0$? E cosa puoi dedurre dal fatto di sapere quanti sono?

P.S.: Per favore, per rispondere usa il pulsante "Rispondi" e non "Cita" (a meno che tu non debba citare una parte specifica, in quel caso procedi come ho fatto io in questo messaggio per rispondere a te: premi "Cita" e poi cancelli tutto ciò che non serve all'interno della citazione). Rende il post inutilmente lungo da leggere, grazie!