Esercizio Stokes
Ho un esercizio di questo tipo:
$F(x,y,z)=(z,x,y)$ e $S:={(x,y,z)inR^3 | x^2+y^2+z^2=1}nn{(x,y,z)inR^3 | x+y+z<=0$
e devo applicare il teorema di Stokes. La prima cosa che mi viene in mente è trovare la curva che delimita l' intersezione fra l' iperboloide e il piano (avente pendenza negativa) e fare la circuitazione del campo proiettandolo sulle tangenti al bordo. La mia domanda è: si puo' risolvere anche utilizzando il flusso attraverso la superficie? Io però non riesco a trovare una parametrizzazione adeguata per questa intersezione. Qualcuno potrebbe aiutarmi? Domani ho l' esame e mi fareste un favore già solo rispondendo si o no alla precedente domanda! grazie
$F(x,y,z)=(z,x,y)$ e $S:={(x,y,z)inR^3 | x^2+y^2+z^2=1}nn{(x,y,z)inR^3 | x+y+z<=0$
e devo applicare il teorema di Stokes. La prima cosa che mi viene in mente è trovare la curva che delimita l' intersezione fra l' iperboloide e il piano (avente pendenza negativa) e fare la circuitazione del campo proiettandolo sulle tangenti al bordo. La mia domanda è: si puo' risolvere anche utilizzando il flusso attraverso la superficie? Io però non riesco a trovare una parametrizzazione adeguata per questa intersezione. Qualcuno potrebbe aiutarmi? Domani ho l' esame e mi fareste un favore già solo rispondendo si o no alla precedente domanda! grazie
Risposte
Sei un grande, grazie TeM.Un' ultima domanda: ma il flusso del rotore non è la somma dei flussi attraverso due bordi ? Quella del piano $z=-x-y$e $z=+_- sqrt(1-x^2-y^2)$ intersezione con i piani $z<-x-y$?
P.S)errata corrige: la superficie in questione è l' intersezione fra sfera e piano.
P.S)errata corrige: la superficie in questione è l' intersezione fra sfera e piano.
Scusa TeM potresti rispondere al mio ultimo dubbio?
si hai ragione... Quello che volevo dire è: come fai ad essere certo che il flusso totale è solo quello che esce dalla superficie sferica al di sotto del piano? Il flusso totale del rotore non dovrebbe essere la somma del flusso attraverso la superficie piana che fa da "tappo" alla calotta sferica (il cui vettore normale è $(1,1,1)$ ) sommato a quello attraverso la calotta sferica che si estende al di sotto del piano di equazione $z=-x-y$?
Forse la domanda è fuoriluogo ma se avessi avuto $x^2+y^2+z^2<=1$ sarebbe cambiato qualcosa?
Forse la domanda è fuoriluogo ma se avessi avuto $x^2+y^2+z^2<=1$ sarebbe cambiato qualcosa?
"Il flusso di $rot(V)$ attraverso una superficie S è uguale alla circuitazione di V lungo il bordo $partial^+(S)$ Questo è conseguenza del teorema di Stokes. Se quindi avessi avuto $A={(x,y,z)inRR^3 | x^2+y^2+z^2<=1}\cap{(x,y,z)inRR^3|z<=-x-y$ come mi sarei dovuto comportare, quali sono qui le superfici da considerare?Inoltre il bordo delle superfici non dovrebbe essere delimitata dalla stessa curva? Scusa se insisto ma vorrei capire bene come mi devo comportare in queste situazioni...
Una risposta più che soddisfacente! Grazie mille per il tempo che mi hai dedicato TeM.
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