Esercizio standard su ottimizzazione libera. Posso essere piu' preciso?
Vi chiedo un parere su questo esercizio. Si puo' fare di meglio?
Testo: si discuta la natura degli estremanti di \[f(x,y) = \arctan{(x^4 + y^4 - 4xy)}\]
Sia \(g \stackrel{def}{=} \arctan(\dots)\) e \(h \stackrel{def}{=} x^4 + y^4 - 4xy\). Via formula della derivazione delle composte vale \[\nabla{f} = g' \cdot \nabla{h}\] Dato che la derivata dell'arctangente non si annulla mai, gli unici punti stazionari di \(f\) sono i punti stazionari di \(h\). Inoltre per la monotonia dell'arctangente gli estremanti di \(f\) hanno la stessa natura che hanno per \(h\). Ora: \[\nabla{h} = (4x^3 - 4y; 4y^3 - 4x)\] I punti in cui si annullano entrambe le funzioni sono evidentemente \[\{(1;1),(-1;-1),(0;0)\}\] Quando \(xy > 0\) il comportamento di \(h\) e' lo stesso - quindi mi basta studiare la natura di \((1;1)\) e dell'origine.
Il punto \((1;1)\) si candida come minimo: lo capisco muovendomi in `orizzontale` e in `verticale`. Per capire se si tratta effettivamente di un minimo dovrei considerare i valori che la funzione assume nell'intorno di \((1;1)\) ... onestamente non saprei come fare.
Vado di Hessiana: i suoi autovalori in \((1;1)\) sono \(\lambda_1 = 8\), \(\lambda_2 = 16\); i.e. l'incremento della funzione e' positivo in intorni del punto. \((1;1)\) e' un minimo! Lo e' dunque anche \((-1;-1)\).
Considerazioni analoghe sull'origine non possono essere fatte dato che i due autovalori che trovo sono uno negativo, l'altro positivo ... Mi accorgo tuttavia che \[h(x,x) = 2x^4 - 4x^2\] cioe' camminando sulla bisettrice l'origine e' un punto di flesso (la prima derivata non nulla e' di ordine tre); i.e. l'origine non e' ne' massimo ne' minimo per \(h\) e dunque non lo e' nemmeno per \(f\).
Tra l'altro mi accorgo che preso un intorno abbastanza piccolo dell'origine nel primo e nel terzo quadrante \(h\) assume valori negativi, mentre nel secondo e nel quarto valori positivi - e nell'origine vale zero. Insomma, un casino.
Potrei dire qualcos'altro? Ho sbagliato qualcosa?, tutto? Sarei potuto saltare a conclusioni piu' velocemente?
Ringrazio per l'attenzione!
Testo: si discuta la natura degli estremanti di \[f(x,y) = \arctan{(x^4 + y^4 - 4xy)}\]
Sia \(g \stackrel{def}{=} \arctan(\dots)\) e \(h \stackrel{def}{=} x^4 + y^4 - 4xy\). Via formula della derivazione delle composte vale \[\nabla{f} = g' \cdot \nabla{h}\] Dato che la derivata dell'arctangente non si annulla mai, gli unici punti stazionari di \(f\) sono i punti stazionari di \(h\). Inoltre per la monotonia dell'arctangente gli estremanti di \(f\) hanno la stessa natura che hanno per \(h\). Ora: \[\nabla{h} = (4x^3 - 4y; 4y^3 - 4x)\] I punti in cui si annullano entrambe le funzioni sono evidentemente \[\{(1;1),(-1;-1),(0;0)\}\] Quando \(xy > 0\) il comportamento di \(h\) e' lo stesso - quindi mi basta studiare la natura di \((1;1)\) e dell'origine.
Il punto \((1;1)\) si candida come minimo: lo capisco muovendomi in `orizzontale` e in `verticale`. Per capire se si tratta effettivamente di un minimo dovrei considerare i valori che la funzione assume nell'intorno di \((1;1)\) ... onestamente non saprei come fare.
Vado di Hessiana: i suoi autovalori in \((1;1)\) sono \(\lambda_1 = 8\), \(\lambda_2 = 16\); i.e. l'incremento della funzione e' positivo in intorni del punto. \((1;1)\) e' un minimo! Lo e' dunque anche \((-1;-1)\).
Considerazioni analoghe sull'origine non possono essere fatte dato che i due autovalori che trovo sono uno negativo, l'altro positivo ... Mi accorgo tuttavia che \[h(x,x) = 2x^4 - 4x^2\] cioe' camminando sulla bisettrice l'origine e' un punto di flesso (la prima derivata non nulla e' di ordine tre); i.e. l'origine non e' ne' massimo ne' minimo per \(h\) e dunque non lo e' nemmeno per \(f\).
Tra l'altro mi accorgo che preso un intorno abbastanza piccolo dell'origine nel primo e nel terzo quadrante \(h\) assume valori negativi, mentre nel secondo e nel quarto valori positivi - e nell'origine vale zero. Insomma, un casino.
Potrei dire qualcos'altro? Ho sbagliato qualcosa?, tutto? Sarei potuto saltare a conclusioni piu' velocemente?
Ringrazio per l'attenzione!
Risposte
Una piccola osservazione,che in questo caso può essere utile:
se $h(t):I to RR$ è una funzione reale di variabile reale crescente e $g(x,y):D to RR$ è t.c $im g sube I$,
allora gli estremanti di $h circ g$ coincidono con quelli di $g$..
Saluti dal web.
se $h(t):I to RR$ è una funzione reale di variabile reale crescente e $g(x,y):D to RR$ è t.c $im g sube I$,
allora gli estremanti di $h circ g$ coincidono con quelli di $g$..
Saluti dal web.
"theras":
allora gli estremanti di $ h circ g $ coincidono con quelli di $ g $
Si, me n'ero accorto infatti. Anche se devo ammetterlo: a posteriori.
@TeM: in effetti andandomi a guardare subito l'Hessiana arrivo subito al risultato - anche se perdo un po' di contatto con la funzione in se' per il momento (o semplicemente giro meno volte intorno al problema ...). Ma quindi la ricerca degli autovalori di \(H_{funct}{(\underline{a})}\) non mi serve mai in questo tipo di problemi?
Tanto: posso ricavare tutte le informazioni dall'Hessiana. Mi sbaglio secondo te?
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