Esercizio spazio metrico completo

[alinrf]

Su $X^(2) = { x = (xi_1,xi_2,...,xi_k,...) | \sum_{k=1}^infty k^(2)xi_k^2 < infty }$ abbiamo il seguente prodotto scalare: $(x|y)=\sum_{k=1}^infty k^(2) xi_k eta_k$ e dungue la seguente norma $\||x||=(\sum_{k=1}^infty k^(2) xi_k^2)^(1/2)$

Si chiede di mostrare che $X^2$ è uno spazio metrico completo con la norma di sopra.

Allora prendo una successione ${x^((n))}_(ninNN) sube X^2$ che sia di Cauchy, cioè tale che
$AA \epsilon > 0 \ EE nu_epsilon in NN$ tale che $||x^((n)) - x^((m))||_(X^2) < epsilon ,\ AA n,m>=nu_epsilon$

La condizione $||x^((n)) - x^((m))||_(X^2) < epsilon$ la riscrivo come $\sum_{k=1}^infty (k*xi^((n))_k - k*xi^((m))_k)^2 < epsilon^2 $.

Ho pensato di mostrare che $AA ninNN, \sum_{k=1}^infty k^2(xi^((n))_k)^2 < infty$, così avrei che $AA ninNN$, la successione $a^((n))={kxi^((n))_k}_(kinNN)$ si trova in $l^2$, che è completo, quindi $a^((n))$ converge ad un certo $a={alpha_k}_(kinNN)$

In più, dovrei mostrare che la successione $a$ sta non solo in $l^2$, ma proprio in $X^2$, cioè che $\sum_{k=1}^infty k^2alpha_k^2 < infty$ .

Ho bisogno di qualche suggerimento, come faccio a dire che $AA ninNN, \sum_{k=1}^infty k^2(xi^((n))_k)^2 < infty$ e poi che $\sum_{k=1}^infty k^2alpha_k^2 < infty$ ??

[gugo82]

Un commento sulla notazione.
Ma perché usi le lettere greche per denotare le coordinate? Così impazzisci!
Non sarebbe meglio usare \(x=(x_k)\), \(a=(a_k)\), etc.?

[alinrf]

"gugo82":Un commento sulla notazione.
Ma perché usi le lettere greche per denotare le coordinate? Così impazzisci!
Non sarebbe meglio usare \(x=(x_k)\), \(a=(a_k)\), etc.?

Hai ragione, ma il Prof usa queste di notazioni, e ci ho fatto un pò l'abitudine