Esercizio spazi di Hilbert

[fede161]

Ciao ragazzi!!

Sto studiando gli spazi di Hilbert. Mi è stato dato questo esercizio:

Mostrare che la seguente collezione di funzioni:
$ sqrt(1/pi) $
$ sqrt(2/pi) cosx $
$ sqrt(2/pi) cos2x $
$ sqrt(2/pi) cos3x $ .....

è un sistema ortonormale completo in $ L^2(0,pi) $

Il libro riporta questa soluzione:

Le funzioni
$ c_0(x)= sqrt(1/x $ , $ c_n(x) = sqrt(2/pi) cosnx $

formano chiaramente un sistema ortonormale completo in quanto una verifica diretta mostra che :

$ int_0^ picos(nx)cos(mx) = 1/2int_0^ pi[cos(n+m)x + cos(n-m)x]dx=0 $ per $ n != m $

$ int_0^ pidx = pi $ , $ int_0^ picos^2(nx)dx=pi/2 $

e poi continua...

Allora volevo chiedere: il primo integrale, basta calcolarlo che ovviamente viene 0.

Il secondo integrale (quello che da come risultato $pi$) da dove sbuca fuori? E' forse quello per $ c_0(x)= sqrt(1/x $ ?

mentre il terzo è l'integrale per $ m = n $ ?

Grazie in anticipo per la risposta!!

[Emar1]

"fede16":
Allora volevo chiedere: il primo integrale, basta calcolarlo che ovviamente viene 0.

Puoi concludere che è nullo semplicemente osservando che nell'intervallo \((0,\pi)\) la funzione \(\cos{x}\) ha sempre integrale nullo poichè \(\cos^+ = \cos^-\). Oppure puoi traslare tutto di \(-\pi/2\) ottenendo così l'integrale tra \((-\pi/2,\pi/2)\) di \(\sin{x}\) che è dispari.

"fede16":
Il secondo integrale (quello che da come risultato $pi$) da dove sbuca fuori? E' forse quello per $ c_0(x)= sqrt(1/x $ ?

Sei sicuro che sia \(c_0(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}\) e non \(c_0(x) = \sqrt{\frac{1}{\pi}}\)? Se è la seconda, sì, quello è semplicemente l'integrale della funzione costante.

"fede16":
mentre il terzo è l'integrale per $ m = n $ ?

Sì!

[fede161]

grazie emar!!

Si per la risposta numero due è ovviamente la seconda opzione che hai detto tu !! grazie mille