Esercizio si interno, frontiera e derivato
Siano $A={(x,y) \in \mathbb{R}^2 \text{tali che} x^2 + 2x + y^2 \le 0}$ e $B={(x,y)=(1+ \frac{1}{n},0) \in \mathbb{R}^2, n \in \mathbb{N} }$.
Sia $C=A \cup B$.
Determinare interno, frontiera e derivato di C.
Allora, l'interno dovrebbe essere abbastanza semplice, ovvero $\text{int}C={x^2 + 2x + y^2 < 0}$.
Invece tutti i punti di $B$ dovrebbero essere di frontiera (perché se considero lo spazio $\mathbb{R}^2$, in ogni intorno di un punto di B ci sono punti di ordinata diversa da 0). Inoltre sono punti di frontiera tutti gli $(x,y) : x^2 + 2x + y^2 = 0$.
Per quanto riguarda i punti di accumulazione, si dovrebbe avere che $C'= C \cup {(3,0)}$.
Potreste dirmi se è giusto così?
Sia $C=A \cup B$.
Determinare interno, frontiera e derivato di C.
Allora, l'interno dovrebbe essere abbastanza semplice, ovvero $\text{int}C={x^2 + 2x + y^2 < 0}$.
Invece tutti i punti di $B$ dovrebbero essere di frontiera (perché se considero lo spazio $\mathbb{R}^2$, in ogni intorno di un punto di B ci sono punti di ordinata diversa da 0). Inoltre sono punti di frontiera tutti gli $(x,y) : x^2 + 2x + y^2 = 0$.
Per quanto riguarda i punti di accumulazione, si dovrebbe avere che $C'= C \cup {(3,0)}$.
Potreste dirmi se è giusto così?
Risposte
Ok per l'interno.
Ok per la frontiera.
Il derivato proprio no. Ogni punto di $A$ è di accumulazione per $C$ (facile). I punti di $B$ non sono di accumulazione, giacché sono tutti isolati. Invece, $(1,0)=\lim_{n\to \infty}(1+1/n,0)$ è un punto di accumulazione, perché - per definizione di limite - in ogni intorno di $(1,0)$ cadono punti di $C$ (di $B$, precisamente).
$(3,0)$ non riesco proprio a capire da dove l'hai tirato fuori
Ok per la frontiera.
Il derivato proprio no. Ogni punto di $A$ è di accumulazione per $C$ (facile). I punti di $B$ non sono di accumulazione, giacché sono tutti isolati. Invece, $(1,0)=\lim_{n\to \infty}(1+1/n,0)$ è un punto di accumulazione, perché - per definizione di limite - in ogni intorno di $(1,0)$ cadono punti di $C$ (di $B$, precisamente).
$(3,0)$ non riesco proprio a capire da dove l'hai tirato fuori
Scusami, intendevo $(2,0)$ come punti di accumulazione (che è comunque sbagliato 
)
Si hai ragione, non so perché ma mi ero messo in testa che B fosse $B=(1,2]$...
Però ora mi sorge un dubbio: il punto di B $(2,0)$ come tutti gli altri (a parte quello di ascissa 1) non dovrebbero essere esterni?
)Si hai ragione, non so perché ma mi ero messo in testa che B fosse $B=(1,2]$...
Però ora mi sorge un dubbio: il punto di B $(2,0)$ come tutti gli altri (a parte quello di ascissa 1) non dovrebbero essere esterni?
$(2,0)=(1+1/1,0)\in C$, quindi non può essere esterno!
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