Esercizio serie parametrica

[AnalisiZero]

Ciao,

Sto studiando la convergenza (assoluta e non) di questa serie al variare di $a in RR$
$sum_(n=1)^{+infty}(2+sinn)/n^a$
Come ho fatto:
La serie è a termini positivi: converge se e solo se converge assolutamente.
Mi sono fatto un'idea usando la condizione necessaria di convergenza.
$lim_(n to +infty)(2+sinn)/n^a={(+inftytext( per )a<0),(text(non esiste per )a=0),(0 text( per )a>0):}$
Da cui si vede che la serie può convergere solo per $a>0$.
Poi con il criterio del confronto:
$(2+sinn)/n^a<=3/n^a$
Da cui se $a>1$ la serie converge assolutamente.
Resta da studiare per $0 Poi ho usato il criterio del confronto asintotico:
$lim_(n to +infty)((2+sinn)/n^a)/(1/n^2)=lim_(n to +infty)(2+sinn)/n^(2-a)={(+infty text( per )2-a<0 leftrightarrow a>2),(text(non esiste per )a=2),(0text( per )a<2):}$
Ma ho una contraddizione perché la serie non può convergere per $a<2$ visto che per $a<=0$ il termine generale non è infinitesimo. Eppure il confronto asintotico è una condizione sufficiente. Come si spiega?

[pilloeffe]

Ciao AnalisiZero,

Perché studiare la convergenza assoluta? La serie proposta è a termini positivi, dato che $\AAn \in \NN $ si ha $- 1 <= sin n <= 1 $...
Pertanto la serie proposta converge per $a > 1 $

[AnalisiZero]

L'esercizio chiede di studiare entrambe le convergenze al variare di $a in RR$.
In ogni caso non fa differenza visto che la serie è a termini positivi, io ho fatto i calcoli con il termine generale inziale.

[AnalisiZero]

"pilloeffe":Ciao AnalisiZero,

Perché studiare la convergenza assoluta? La serie proposta è a termini positivi, dato che $\AAn \in \NN $ si ha $- 1 <= sin n <= 1 $...
Pertanto la serie proposta converge per $\alpha > 1 $

Non mi è chiaro. Per prima cosa il criterio del confronto è solo sufficiente, quindi non permette di dire cosa succede per $0 Poi dove ho sbagliato nel criterio del confronto asintotico?

[pilloeffe]

Si ha:

$ \sum_(n=1)^{+infty}(2+sinn)/n^a <= \sum_(n=1)^{+infty} 3/n^a = 3\sum_(n=1)^{+infty} 1/n^a $

L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata che converge per $a > 1 $
Dunque la serie proposta converge semplicemente (e se vuoi anche assolutamente, tanto in questo caso è la stessa cosa... ) per $a > 1 $
Per cui secondo me potevi fermarti quando hai scritto

"AnalisiZero":Da cui se $a>1$ la serie converge assolutamente.

Sbaglierò, ma secondo me chiedere entrambe le convergenze in questo esercizio è una trappola per far credere che cambi qualcosa...

[AnalisiZero]

Ma io l'avevo capito dall'inizio, l'ho anche scritto.
La serie è a termini positivi: converge se e solo se converge assolutamente.
Ma il punto è che il criterio del confronto non basta perché non ci dice se converge per $0

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[pilloeffe]

"AnalisiZero":Ma il punto è che il criterio del confronto non basta perché non ci dice se converge per $0
?
Si vede subito che per $a = 1 $ la serie proposta non converge, perché si comporta come la serie armonica, notoriamente divergente. Le cose poi vanno ancora peggio se $0 < a < 1 $, perché in tal caso la serie che si ottiene maggiora la serie armonica. Conclusione: la serie proposta converge se e solo se $a > 1 $.

"AnalisiZero":Poi dove ho sbagliato nel criterio del confronto asintotico?

Qui:

$\lim_{n \to +infty} \frac{(2 + sin n)/n^a}{1/n^2} = \lim_{n \to +infty} \frac{2 + sin n}{n^{a - 2}} $