Esercizio serie numeriche

[salvatore.de-luca]

Salve
Volevo un ragguaglio su questo semplice esercizio. Devo verificare la convergenza della serie

$\sum_{n=1}^oo 1/n^2$

È errato procedere usando il criterio dell'ordine di infinetisimo?
Noto che

$\lim_{n \to \infty} 1/n^2 × n^2 =1$
Per cui $n^2$ ha ordine due (maggiore di uno) e il limite è finito. Da ciò risulta la convergenza
Non so ancora bene come applicare il criterio quindi non sono per nulla sicuro della correttezza del procedimento
Grazie in anticipo

[Pietro!115]

Ciao Saso366.
In questo caso non c'è bisogno di applicare nessun teorema dato che la serie è del tipo:
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$
Che è una serie armonica generalizzata convergente per $p>1$ e divertente per $p<=1$
Se vuoi testare la convergenza o divergenza di una serie per esserne sicuro al 100% ti consiglio Wolfram Alpha

[pilloeffe]

Ciao saso366,

Si tratta del ben noto Problema di Basilea

[gugo82]

"saso366":Salve
Volevo un ragguaglio su questo semplice esercizio. Devo verificare la convergenza della serie

$\sum_{n=1}^oo 1/n^2$

È errato procedere usando il criterio dell'ordine di infinetisimo?
Noto che

$\lim_{n \to \infty} 1/n^2 × n^2 =1$
Per cui $n^2$ ha ordine due (maggiore di uno) e il limite è finito. Da ciò risulta la convergenza
Non so ancora bene come applicare il criterio quindi non sono per nulla sicuro della correttezza del procedimento
Grazie in anticipo

Beh, non è errato come fatto mnemonico, ma è concettualmente sbagliato.

Infatti, il Criterio dell’Ordine è una conseguenza del fatto che le serie armoniche generalizzate $sum 1/n^p$ hanno comportamento già noto (convergenti per $p>1$, divergenti per $p<=1$).
In altri termini, se non conoscessi il carattere delle serie armoniche generalizzate, il Criterio dell’Ordine (che è un caso particolare del Criterio di Confronto, in cui si confronta una serie arbitraria con un’opportuna serie armonica) non lo dimostreresti.