Esercizio. Serie numerica con parametro.

[21zuclo]

Per favore aiutatemi con questo esercizio. Non so come risolverlo. Vorrei usare l'asintotico ma con la formula di Stirling non sono molto bravo ad usarla. Un modo più semplice?

Al variare del parametro reale \(\displaystyle \alpha \) discutere il carattere della serie

\(\displaystyle

\sum \frac{n!+\arctan n}{n^\alpha(n-2)!(1-\cos \frac{1}{n})}\)

È possibile risolverla in modo semplice senza ricorrere a Stirling?

[Seneca1]

Potresti scrivere meglio la serie? Riguardo al termine generale non si capisce cosa è a denominatore e cosa a numeratore.

[21zuclo]

con quei comandi come si fa a fare il denominatore? se me lo spieghi potrei riuscire a scriverla meglio

[Seneca1]

Potrebbe essere questa? $sum (n! + arctan(n))/(n^alpha * (n-2)!(1-cos(1/n)))$

[21zuclo]

Sì è quella perfetto!

[0nb0]

Dunque: basta usare le equivalenze asintotiche per n tendente a infinito.
Al numeratore il fattoriale è preponderante rispetto all'arcotangente, al denominatore basta dire che 1-cos(1/n) tende a 1/2*n^(-2); in conclusione semplifichi i fattoriali in modo che compaia un n^2 al denominatore e poichè così hai solo elevazioni a potenza di n ti basta calcolare l'esponente finale che coinvolgerà sicuramente alpha. A questo punto basta usare una banale disequazione per stabilire che l'esponente della sommatoria sia <-1.