Esercizio serie numerica

[FinixFighter]

Ciao ragazzi, sto avendo a che fare con un esercizio di analisi 1 e volevo chiedervi se secondo voi il mio procedimento è corretto. Devo stabilire se questa serie è convergente o divergente (la sommatoria va da 0 a +infinito):
$ sum(sqrt(n^2+1)-n)^3 $
Io ho usato le formule di MacLaurin di $ sqrt(1+x)=1+1/2x $ e $ (1+x)^alpha=1+alphax $ e ho ottenuto:
$ 1/3n^2-3n+1 $ A questo punto ho considerato che $ 1/3n^2-3n+1>n^2 $
Poi sono passato ai reciproci: $ 1/(1/3n^2-3n+1)<1/(n^2) $
e da qui ho concluso che, per il criterio del confronto, dato che $ sum(1/n^2) $ è convergente allora la serie di partenza è convergente. E' giusto oppure oppure c'è qualcosa di sbagliato e/o passaggi non ammessi??

[Bremen000]

Ciao, si quello che hai scritto è sbagliato. Le formule di MacLaurin valgono sotto ipotesi ben precise. Nello specifico la stima asintotica che credo volessi usare vale quando $x \to 0$.

Per quanto riguarda l'esercizio:

\[ \sqrt{n^2+1}-n = \sqrt{n^2+1}-n \cdot \frac{\sqrt{n^2+1}+n}{\sqrt{n^2+1}+n} = \frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n} = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n} \]

Da cui

\[ \biggl ( \sqrt{n^2+1}-n \biggr )^3 = \frac{1}{(\sqrt{n^2+1}+n)^3} \sim \frac{1}{8n^3} \quad \text{quando } n \to \infty\]

Dunque per il criterio del confronto asintotico (credo si chiami così) la tua serie è convergente.