Esercizio serie n.8 dimostrare che $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\leq 2$

[koloko]

Esercizio 8 pagina 55 libro Esercizi di Matematica 1, Salsa - Squellati
Domanda: dimostrare che $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\leq 2$

Risposta:
$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2} = 1+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k^2} = 1+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)^2} \leq 1+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(k+1)}$
per cui, passando al limite per $n->\infty$ e ricordando che $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1$ (serie di Mengoli) si ricava che $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\leq2$.

Mia domanda: in che modo viene fuori $k+1$ al denominatore?

[stormy1]

nel secondo passaggio c'è un errore : k parte da 2
se invece di scrivere $1/k^2$ con$k=2,..n$ ,scrivi $1/(k+1)^2$ con $k=1,..n-1$ ottieni gli stessi termini

[koloko]

Ho corretto l'errore, avevo sbagliato a trascrivere. Ora provo a rifare i passaggi e vedere se ho capito

[21zuclo]

te lo dico in anticipo..

non solo puoi dimostrare che $ \sum_(n=1)^(+\infty) (1)/(n^2)\le 2 $

ma in Analisi 2, con le serie di Fourier puoi dimostrare che $ \sum_(n=1)^(+\infty) (1)/(n^2)=(\pi^2)/(6) $

[CaMpIoN]

Poni $k=i+1$, lo sostituisci al denominatore.
Sotto alla sommatoria hai $k=2$ sostituendo hai $i+1=2$ da cui ottieni $i=1$.
Al valore di arrivo di $k$, e quindi $n$, hai $n=i+1$ da cui trovi il valore di arrivo di $i$: $i=n-1$, e sostituisci alla $n$ sopra alla sommatoria.
Cambia poi $i$ in $k$ solo per convenienza ed ottieni la tua sommatoria.