Esercizio serie funzioni

[nick_10]

Ciao! Ho il seguente:
"Consideriamo la funzione $f(x)=\sum_{n=1}^infty log(1+x^2/n^2)$
a)Dimostrare che $f(x)$ è ben definita e continua per ogni $x in RR$
b)Dimostrare che $f(x) to 0$ per $x to 0$ e $f(x) to +infty$ per $x to +infty$
c)Determinare ordine di infinito e parte principale per $x to +infty$
d)Determinare ordine di infinitesimo e parte principale per $x to 0$
Ho svolto (credo con successo) i primi tre punti.
Il primo punto grazie a una convergenza totale sui compatti. Il secondo punto il limite a $0$ è diretta conseguenza della continuità, mentre per quello a $+infty$ si può osservare che $f(x)>=f_10(x)$ che tende a $+infty$(da cui per confronto...)
Per il terzo punto son riuscito a dimostrare tramite un confronto serie/integrali che $f(x)~pix$ per $x to +infty$
Per l'ultimo punto, invece, non saprei proprio che ragionamento intraprendere

[otta96]

Prova a calcolare $f'(0)$, se viene $0$ prova con $f''(0)$ eccetera.

[nick_10]

Uh...grazie della bella idea. Vediamo un po'.
Considero la serie delle derivate $f_n(x)'=n^2/(n^2+x^2)*(2x)/n^2=2x/(n^2+x^2)$. Se calcolo anche $f_n(x)''$(che probabilmente potrà servirmi più avanti) vedo che $f_n(x)''=(2n^2-2x^2)/(n^2+x^2)^2$ e questa è $>0$ se e solo se $x Posso quindi scambiare nel calcolo del limite a zero e ottengo $f'(0)=0$

Studio ora quindi le $f_n(x)''$ e osservo $f_n(x)''=(2n^2-2x^2)/(n^2+x^2)^2<=2n^2/n^4=2/n^2$, da cui la convergenza totale(dunque uniforme su tutto $RR$). Posso anche qui scambiare e ottengo dunque che
$f''(0)=\sum_{n=1}^(infty) lim_(x to 0)(2n^2-2x^2)/(n^2+x^2)^2= \sum_{n=1}^(infty) 2n^2/n^4=2*\sum_{n=1}^infty 1/n^2=pi^2/3$
Può andare?

[otta96]

"nick_10":Uh...grazie della bella idea. Vediamo un po'.
Considero la serie delle derivate $f_n(x)'=n^2/(n^2+x^2)*(2x)/n^2=2x/(n^2+x^2)$. Se calcolo anche $f_n(x)''$(che probabilmente potrà servirmi più avanti) vedo che $f_n(x)''=(2n^2-2x^2)/(n^2+x^2)^2$ e questa è $>0$ se e solo se $x
Qui dovrebbe essere $|x|<|n|$, ma forse stavi considerando solo i valori positivi, in tal caso è giusto.

dunque tornando alla serie delle derivate iniziale dico che c'è convergenza uniforme negli intervalli $[0,A]$ non appena $A
Più precisamente è $f'_n(A)$.

Può andare?

Mi sembra proprio di sì

[nick_10]

Sisi stavo considerando i valori positivi di $n=1,2...$ e di $x$
Grazie comunque.
Quindi $f(x)$ è asintotica per $x to 0$ a $pi^2/6x^2$

[otta96]

Esatto.

[nick_10]

Grazie per l'aiuto! Non ci avevo proprio pensato all'amico Taylor