Esercizio serie di potenze

[claudio_p88]

studiare in campo complesso la serie \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{ikz^2}}{k^3} \), procedo applicando la sostituzione \(\displaystyle x = e^{iz^2} \) la serie così è riconducibile ad una serie di potenze di raggio R = 1, dunque la serie converge puntualmente e assolutamente per \(\displaystyle |t|<1 \) e diverge per \(\displaystyle |t|>1 \), ora vorrei che qualcuno mi spiegasse perchè la condizione di convergenza totale(cioè uniforme, puntuale, assoluta) è data da \(\displaystyle |e^{ikz^2}|\le 1 \)

[ciampax]

Troppe lettere! Se poni $x=e^{ik z^2}$ allora la condizione di convergenza ti dice che deve essere $|x|\le 1$. Pertanto devi risolvere l'equazione $|e^{ik z^2}|\le 1$ (ti consiglio di scrivere $z=x+iy$). L'uguaglianza va inserita a causa del Teorema di Abel.

[claudio_p88]

dici che la condizione di convergenza è \(\displaystyle |x|\le 1 \), ma dici questo perchè il raggio è uguale a 1, cioè se il raggio fosse stato 2 allora la condizione di convergenza sarebbe stata \(\displaystyle |x|\le 2 \) ?

[ciampax]

Esatto.

[claudio_p88]

svolgendo i calcoli mi sono trovato con \(\displaystyle |e^{ikz^2}| = |e^{ik(x^2-y^2)-2kxy}| \), ora devo considerare i casi in cui \(\displaystyle |e^{ik(x^2-y^2)-2kxy}|\le 1 \), la soluzione del libro mi dice che questa condizione è verificata per \(\displaystyle |e^{ikz^2}| = e^{-2kxy}\le 1 \), e quindi se \(\displaystyle xy\ge 0 \), ora quello che non mi è chiaro è perchè l'esponente \(\displaystyle ik(x^2-y^2) \) non viene preso in considerazione in tale studio

[_prime_number]

Perché $k(x^2-y^2)$ è reale quindi il numero complesso $e^{i k(x^2-y^2)}$ ha norma $1$ (è sul cerchio unitario).

Paola

[claudio_p88]

non è che mi sia molto chiaro andrò a dare un' occhiata in rete all'argomento comunque grazie mille

[_prime_number]

Ok, pensala così: ogni numero complesso si rappresenta (univocamente, se si fanno certe assunzioni sull'argomento) come $|z| e^{i arg(z)}$, dove $|z|$ è la sua norma e $arg z$ il suo argomento.
In particolare, se ti trovi di fronte un numero del tipo $z= e^{i C}$ con $R$ numero reale, vorrà dire che necessariamente $|z|=1, C=\arg z$.

Paola

[claudio_p88]

grazie mille, molto più chiaro