Esercizio serie di potenze
Salve a tutti!!
Ho provato a risolvere la seguente serie di potenze ma non sono riuscito a venirne a capo..
\(\displaystyle \) $\sum_{k=1}^\infty$ $(2^n + 2^(2*n))*(x-1)^(n+1)$
Mi chiede di studiare la convergenza puntuale e uniforme...
Grazie!!!
Ho provato a risolvere la seguente serie di potenze ma non sono riuscito a venirne a capo..
\(\displaystyle \) $\sum_{k=1}^\infty$ $(2^n + 2^(2*n))*(x-1)^(n+1)$
Mi chiede di studiare la convergenza puntuale e uniforme...
Grazie!!!
Risposte
Posta i tuoi tentativi per favore.
Paola
Paola
Ho considerato \(\displaystyle \) an=$2^n+2^(2*n)$ ...quindi facendo il limite per trovare il raggio di convergenza non riesco ne ad applicare il criterio della radice ne quello del rapporto..in piu una serie di potenze è nella forma $an*(x)^n$ mentre qui ho la x elevata ad (n+1)... spero di essere stato chiaro
Basta traslare l'indice, la serie diventa
$\sum_{n=2}^\infty (2^{n-1} + 2^{2(n-1)})(x-1)^n$
Hai provato ad applicare Cauchy Hadamard? E a notare che $2^{n-1} + 2^{2(n-1)}=2^{n-1}(1+2^{n-1})$...
Paola
$\sum_{n=2}^\infty (2^{n-1} + 2^{2(n-1)})(x-1)^n$
Hai provato ad applicare Cauchy Hadamard? E a notare che $2^{n-1} + 2^{2(n-1)}=2^{n-1}(1+2^{n-1})$...
Paola
Sono riuscito a trovare il raggio di convergenza applicando il criterio del rapporto al termine an che mi hai scritto con la traslazione dell'indice... R=1/2
Ora vorrei chiederti...dato che l'insieme di convergenza è pari a (-1-1/2,-1+ 1/2)..per la convergenza puntuale ed uniforme come procedo???
Ora vorrei chiederti...dato che l'insieme di convergenza è pari a (-1-1/2,-1+ 1/2)..per la convergenza puntuale ed uniforme come procedo???
Vai a rileggerti la teoria del raggio di convergenza!!!!!!!
Paola
Paola
Se gentilmente potresti essere più precisa...ho detto qualcosa che non va? Scusa in una serie di potenze una volta fatto il limite di an per trovare il raggio di convergenza R, l'insieme di convergenza non è (xo-R,xo+R)...????
Premetto che non ho fatto i calcoli e quindi non so se il raggio che hai calcolato sia corretto. In ogni caso per terminare lo studio della convergenza puntuale devi studiare il comportamento della serie sulla frontiera del cerchio di convergenza. Per la convergenza uniforme devi prima capire cosa succede sulla frontiera e poi fare i conseguenti ragionamenti.
Allora avevo fatto un errore nel calcolo del raggio...quello corretto è R=1/4..quindi l'insieme è (3/4,5/4); sostituendo nella serie ottengo:
\(\displaystyle \) $\sum_{k=1}^\infty (2^(n-1) + 2^(2*(n-1)))*(-1/4)^n $ per x=3/4 e
$\sum_{k=1}^\infty (2^(n-1) + 2^(2*(n-1)))*(1/4)^n $ per x=5/4
Ora dovrei dire cosa fanno queste due serie...ma non so proprio da dove cominciare...Grazie
\(\displaystyle \) $\sum_{k=1}^\infty (2^(n-1) + 2^(2*(n-1)))*(-1/4)^n $ per x=3/4 e
$\sum_{k=1}^\infty (2^(n-1) + 2^(2*(n-1)))*(1/4)^n $ per x=5/4
Ora dovrei dire cosa fanno queste due serie...ma non so proprio da dove cominciare...Grazie
Hai sbagliato. Le serie da studiare sono:
$\sum_{n=1}^{+\infty}(2^{n}+2^{2n})\(-\frac{1}{4}\)^{n+1}$
e
$\sum_{n=1}^{+\infty}(2^{n}+2^{2n})\(\frac{1}{4}\)^{n+1}$
$\sum_{n=1}^{+\infty}(2^{n}+2^{2n})\(-\frac{1}{4}\)^{n+1}$
e
$\sum_{n=1}^{+\infty}(2^{n}+2^{2n})\(\frac{1}{4}\)^{n+1}$
Ok grazie...qualche suggerimento in merito???
Hai provato a valutare la successione dei termini delle serie?
Si in effetti era come dicevi tu...Ho risolto..Grazie per il supporto!!!
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