Esercizio Serie di Potenze
Salve,
Volevo porre alla vostra attenzione il mio ragionamento su queste due serie di potenze per vedere se ho afferrato bene il concetto.
Parto da questa,
$ sum_(n = 1)^(+oo) (2^n/n^2)*e^(nx) $
Posso ricondurla a serie di potenze tramite la sostituzione
$ e^(nx) = y^n $ serie di potenze centrata tra l'altro nell'origine.
Successivamente tramite il criterio della radice ricavo che il raggio di convergenza è $1/2$
Studiando il sistema otterrò informazioni sull'insieme di convergenza,
$ { ( e^x < (1/2) ),( e^x > (-1/2) ):} $
A questo sono nelle condizioni tali da poter affermare qualcosa sulla convergenza totale. L'insieme di convergenza della serie è ]-oo,log1/2[ e secondo il teorema di Abel (mi pare prenda questo nome), dovrebbe esserci convergenza totale in ogni intervallo [a,b] contenuto nell'insieme di convergenza.
A questo punto mi sorge un dubbio, l'insieme di convergenza non è del tipo [-k,k] , per cui posso fare lo stesso questo tipo di discorso?
Volevo porre alla vostra attenzione il mio ragionamento su queste due serie di potenze per vedere se ho afferrato bene il concetto.
Parto da questa,
$ sum_(n = 1)^(+oo) (2^n/n^2)*e^(nx) $
Posso ricondurla a serie di potenze tramite la sostituzione
$ e^(nx) = y^n $ serie di potenze centrata tra l'altro nell'origine.
Successivamente tramite il criterio della radice ricavo che il raggio di convergenza è $1/2$
Studiando il sistema otterrò informazioni sull'insieme di convergenza,
$ { ( e^x < (1/2) ),( e^x > (-1/2) ):} $
A questo sono nelle condizioni tali da poter affermare qualcosa sulla convergenza totale. L'insieme di convergenza della serie è ]-oo,log1/2[ e secondo il teorema di Abel (mi pare prenda questo nome), dovrebbe esserci convergenza totale in ogni intervallo [a,b] contenuto nell'insieme di convergenza.
A questo punto mi sorge un dubbio, l'insieme di convergenza non è del tipo [-k,k] , per cui posso fare lo stesso questo tipo di discorso?
Risposte
Ti sei perso sul finale: la serie originale non è una serie di potenze per cui il suo insieme di convergenza non è obbligatoriamente del tipo [tex]$(-k;k)$[/tex] con [tex]$k>0$[/tex], effettivamente il suo insieme di convergenza è [tex]$(-\infty;\log2)$[/tex] e dovresti solo controllare l'eventuale convergenza per [tex]$x=\log2$[/tex].
Bene!
Per $x=log1/2$ ho la serie numerica $ sum_(n = 1)^(+oo) n^2$ che diverge e quindi esclude tale estremo dall'insieme di convergenza.
Ad ulteriore prova per capire se ho capito :p, ho provato a fare lo stesso ragionamento per quest'altro esercizio, in cui ho lo stesso genere di dubbio.
$sum_(n = 1)^(+oo) (x^2-3)^n*n^2/(2^n(n+1))$
In maniera analoga ho la riconduzione della serie ad una di potenze centrata nell'origine ponendo $(x^2-3)=y$
Il raggio di convergenza studiato tramite criterio della radice è : 2
Risolvendo il sistema
$ { ( x^2-3 < 2),( x^2-3 > (- 2)):} $
ottengo il seguente risultato :
I = $(-sqrt(5),-1) U (1,sqrt(5))$
studiando cosa accade agli estremi osservo che le serie numeriche ottenute divergono tutte ($n^2$ domina in qualsiasi caso ed influenza il carattere della serie).
Quindi posso dire che c'è convergenza totale in ogni intervallo del tipo [a,b] contenuto in I = $(-sqrt(5),-1) U (1,sqrt(5))$
Corretto?
Per $x=log1/2$ ho la serie numerica $ sum_(n = 1)^(+oo) n^2$ che diverge e quindi esclude tale estremo dall'insieme di convergenza.
Ad ulteriore prova per capire se ho capito :p, ho provato a fare lo stesso ragionamento per quest'altro esercizio, in cui ho lo stesso genere di dubbio.
$sum_(n = 1)^(+oo) (x^2-3)^n*n^2/(2^n(n+1))$
In maniera analoga ho la riconduzione della serie ad una di potenze centrata nell'origine ponendo $(x^2-3)=y$
Il raggio di convergenza studiato tramite criterio della radice è : 2
Risolvendo il sistema
$ { ( x^2-3 < 2),( x^2-3 > (- 2)):} $
ottengo il seguente risultato :
I = $(-sqrt(5),-1) U (1,sqrt(5))$
studiando cosa accade agli estremi osservo che le serie numeriche ottenute divergono tutte ($n^2$ domina in qualsiasi caso ed influenza il carattere della serie).
Quindi posso dire che c'è convergenza totale in ogni intervallo del tipo [a,b] contenuto in I = $(-sqrt(5),-1) U (1,sqrt(5))$
Corretto?
Ma che sostituzione hai fatto? 
Eppoi [tex]$\log1=0$[/tex] io t'ho scritto di verificare per [tex]$x=\log2$[/tex] la convergenza e la serie diventa, con un pò di calcoli [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4^n}{n^2}$[/tex]. 
Premesso questo non ho controllata l'altra serie.
Eppoi [tex]$\log1=0$[/tex] io t'ho scritto di verificare per [tex]$x=\log2$[/tex] la convergenza e la serie diventa, con un pò di calcoli [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4^n}{n^2}$[/tex]. Premesso questo non ho controllata l'altra serie.
Chiedo scusa errore di battitura e un pò di confusione generale sul finale del primo esercizio, ciò che ho controllato è x = log(1/2) , ottenuta dalla prima equazione del sistema 
. Ed ottengo la serie numerica $1/n^2$ che converge. Perchè scrivi di controllare $log 2$? Mi pare scorretta come soluzione uhmuhm.
Avrei comunque bisogno se riesci di una conferma sul secondo
. Ed ottengo la serie numerica $1/n^2$ che converge. Perchè scrivi di controllare $log 2$? Mi pare scorretta come soluzione uhmuhm.Avrei comunque bisogno se riesci di una conferma sul secondo
Ciao. 
Se non ho sbagliato i conti, la serie $ sum_(n = 1)^(oo) 2^n/n^2 y^n$ ha raggio di convergenza $1/2$ e converge in $D=[-1/2, 1/2]$ (converge in $y=-1/2$ per il criterio di Leibniz, converge in $y=1/2$ perchè diventa una serie armonica generalizzata di ordine 2 e perciò convergente).
Fin qui ci siamo?
A questo punto, l'insieme di convergenza puntuale per la serie originale risulta essere $E=(-oo, ln(1/2)]$. Dalla teoria delle serie di potenze (e dal teorema di Abel che citi), segue che hai convergenza assoluta e uniforme in ogni intervallo compatto $[a,b]$ contenuto in $E$ (cioè con $a
Spero di non aver preso abbagli (in caso, scusatemi, ma è domenica mattina, sono ancora un po' addormentato
)
"Burbanky":
Studiando il sistema otterrò informazioni sull'insieme di convergenza,
$ { ( e^x < (1/2) ),( e^x > (-1/2) ):} $
A questo sono nelle condizioni tali da poter affermare qualcosa sulla convergenza totale. L'insieme di convergenza della serie è ]-oo,log1/2[ e secondo il teorema di Abel (mi pare prenda questo nome), dovrebbe esserci convergenza totale in ogni intervallo [a,b] contenuto nell'insieme di convergenza.
A questo punto mi sorge un dubbio, l'insieme di convergenza non è del tipo [-k,k] , per cui posso fare lo stesso questo tipo di discorso?
Se non ho sbagliato i conti, la serie $ sum_(n = 1)^(oo) 2^n/n^2 y^n$ ha raggio di convergenza $1/2$ e converge in $D=[-1/2, 1/2]$ (converge in $y=-1/2$ per il criterio di Leibniz, converge in $y=1/2$ perchè diventa una serie armonica generalizzata di ordine 2 e perciò convergente).
Fin qui ci siamo?
A questo punto, l'insieme di convergenza puntuale per la serie originale risulta essere $E=(-oo, ln(1/2)]$. Dalla teoria delle serie di potenze (e dal teorema di Abel che citi), segue che hai convergenza assoluta e uniforme in ogni intervallo compatto $[a,b]$ contenuto in $E$ (cioè con $a
Spero di non aver preso abbagli (in caso, scusatemi, ma è domenica mattina, sono ancora un po' addormentato
)
Ok sul primo non ho più nulla da recriminare è esattamente ciò che ho scritto nel precedente post.
Sul secondo esercizio invece ho ragionato bene ?
è esattamente ciò che ho scritto nel precedente post.Sul secondo esercizio invece ho ragionato bene ?
Direi di sì, se i conti sono giusti.
Grazie mille ad entrambi
Prego, di nulla!
Purtroppo non ho controllato i conti
è il mio vizio\difetto. -_-
Purtroppo non ho controllato i conti
è il mio vizio\difetto. -_-
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