Esercizio serie di potenze
data la serie di potenze $ sum_(n= 1)^(oo)(6^n +(-7)^n)/(n)*(x + 1/7)^n $
dovrei trovare il raggio $rho$ applicando la formula $1/( lim_(n ->oo) (|a_(n+1)|)/(|a_n|))$
e poi l’insieme $E$ di tutti gli x tali che la serie converge.
applicando la formula del raggio di convergenza come mi comporto con il termine $(-7)^n$ visto che cambi di segno
per trovare tutti gli x tali che la serie converga devo trovare il dominio della serie?
dovrei trovare il raggio $rho$ applicando la formula $1/( lim_(n ->oo) (|a_(n+1)|)/(|a_n|))$
e poi l’insieme $E$ di tutti gli x tali che la serie converge.
applicando la formula del raggio di convergenza come mi comporto con il termine $(-7)^n$ visto che cambi di segno
per trovare tutti gli x tali che la serie converga devo trovare il dominio della serie?
Risposte
Meglio usare l'uguaglianza [tex]$\rho =\frac{1}{\lim_n \sqrt[n]{|a_n|}}$[/tex], secondo me.
Ovviamente il trucco sta nel mettere in evidenza l'infinito d'ordine maggiore (e tener presente che c'è un valore assoluto).
Se poi devi fare ugualmente col rapporto, prova a distinguere cosa accade per gli indici pari e per quelli dispari.
Ovviamente il trucco sta nel mettere in evidenza l'infinito d'ordine maggiore (e tener presente che c'è un valore assoluto).
Se poi devi fare ugualmente col rapporto, prova a distinguere cosa accade per gli indici pari e per quelli dispari.
allora se volessi usare la radice avrei $lim_(n->oo) ((6^n+(-7)^n)/n)^(1/n)$ che non riesco a sciogliere
Il suggerimento te l'ho dato prima...
ma al limite ci arrivo attraverso i calcoli o applicando solo regole della gerarchia degli infiniti?
ma se il raggio di convergenza coincide col centro come in questo caso, posso essere certo che la serie converge in quel punto?
In che punto, scusa? Nel centro?
Dalla teoria dovresti sapere che ogni serie di potenze converge almeno nel suo centro, quindi la domanda sarebbe banale...
P.S.: Il raggio di convergenza si calcola come segue: è:
[tex]$\sqrt[n]{|a_n|} =\begin{cases} 7\ \sqrt[n]{\frac{1}{n} [1-(\tfrac{6}{7})^n]} &\text{, se $n$ è dispari} \\ 7\ \sqrt[n]{\frac{1}{n} [1+(\tfrac{6}{7})^n]} &\text{, se $n$ è pari}\end{cases}$[/tex]
quindi: [tex]$\rho =\frac{1}{\lim_{n} \sqrt[n]{|a_n|}} =\frac{1}{7}$[/tex].
Dalla teoria dovresti sapere che ogni serie di potenze converge almeno nel suo centro, quindi la domanda sarebbe banale...
P.S.: Il raggio di convergenza si calcola come segue: è:
[tex]$\sqrt[n]{|a_n|} =\begin{cases} 7\ \sqrt[n]{\frac{1}{n} [1-(\tfrac{6}{7})^n]} &\text{, se $n$ è dispari} \\ 7\ \sqrt[n]{\frac{1}{n} [1+(\tfrac{6}{7})^n]} &\text{, se $n$ è pari}\end{cases}$[/tex]
quindi: [tex]$\rho =\frac{1}{\lim_{n} \sqrt[n]{|a_n|}} =\frac{1}{7}$[/tex].
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