Esercizio serie di potenze
data la serie di potenza stabilire l'intervallo di convergenza:
$ sum^(oo)1/n^2(x/3)^n=sum^oo1/n^2(1/3)^nx^n $
utilizzo il criterio del rapporto:
$ lim_(n -> oo) |(a_n+1)/a_n|=lim_(n -> oo) (1/(n+1)^2*1/(3^(n+1)))/(1/n^2*(1/3)^n)= $
$lim_(n -> oo) n^2/(n^2+1+2n)3^n/(3^n+1)= lim_(n -> oo) 1/(1+2n)*1/3=0 $
$l=0$ $R=oo$
è corretto? come proseguo?
stabilire l'intervallo di convergenza:
1)(-3,3)
2)[0,3]
3)[-3,3]
4)[-3,3)
$ sum^(oo)1/n^2(x/3)^n=sum^oo1/n^2(1/3)^nx^n $
utilizzo il criterio del rapporto:
$ lim_(n -> oo) |(a_n+1)/a_n|=lim_(n -> oo) (1/(n+1)^2*1/(3^(n+1)))/(1/n^2*(1/3)^n)= $
$lim_(n -> oo) n^2/(n^2+1+2n)3^n/(3^n+1)= lim_(n -> oo) 1/(1+2n)*1/3=0 $
$l=0$ $R=oo$
è corretto? come proseguo?
stabilire l'intervallo di convergenza:
1)(-3,3)
2)[0,3]
3)[-3,3]
4)[-3,3)
Risposte
Sembra che per te valga questa uguaglianza, perché??
$n^2/(n^2+1+2n)=1/(1+2n $
$n^2/(n^2+1+2n)=1/(1+2n $
"cri98":
è corretto?
No.
"cri98":
come proseguo?
Correggendo ciò che hai sbagliato, ValeForce ti ha già dato un'indicazione...
Dopodiché non dovresti avere problemi a scoprire che la risposta corretta è la 3).
Non capisco perché approcci così gli esercizi, come ti ho detto qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=205321
in alcuni casi puoi verificare se ciò che scrivi ha senso oppure no; qui è lo stesso, se il raggio di convergenza fosse $+\infty$ la serie convergerebbe in $\mathbb{R}$.
Ma tra le risposte disponibili hai tutti intervalli limitati, quindi è sicuramente sbagliato.
in alcuni casi puoi verificare se ciò che scrivi ha senso oppure no; qui è lo stesso, se il raggio di convergenza fosse $+\infty$ la serie convergerebbe in $\mathbb{R}$.
Ma tra le risposte disponibili hai tutti intervalli limitati, quindi è sicuramente sbagliato.
ciao ragazzi,
grazie al vostro contributo ottengo:
$ lim_(n -> oo) n^2/(n^2+1+2n)3^n/(3^(n+1))= 1/3 $
$l=1/3$ ottengo quindi $R=3$
intervallo da considerare è$ (-3,3)$, verifico se gli estremi presentano convergenza.
considero $x=-3$
$ sum_(n =0)^(oo)1/n^2(-3/3)^n=(-1)^n1/n^2 $
considero il limite:
$ lim_(n -> oo)1/n^2=0 $
per il criterio di Leibniz converge in$ -3$
considero$ x=3$
$ sum_(0)^(oo)1/n^2(1)^n $
in questo caso ho una serie armonica generalizzata$ sum_(0)^(oo)1/n^(alpha)$ se$ alpha>1 $converge, in questo caso ho $alpha=2$ quindi in$ x=3$ converge
intervallo di convergenza: $[-3,3]$
è corretto?
Grazie
grazie al vostro contributo ottengo:
$ lim_(n -> oo) n^2/(n^2+1+2n)3^n/(3^(n+1))= 1/3 $
$l=1/3$ ottengo quindi $R=3$
intervallo da considerare è$ (-3,3)$, verifico se gli estremi presentano convergenza.
considero $x=-3$
$ sum_(n =0)^(oo)1/n^2(-3/3)^n=(-1)^n1/n^2 $
considero il limite:
$ lim_(n -> oo)1/n^2=0 $
per il criterio di Leibniz converge in$ -3$
considero$ x=3$
$ sum_(0)^(oo)1/n^2(1)^n $
in questo caso ho una serie armonica generalizzata$ sum_(0)^(oo)1/n^(alpha)$ se$ alpha>1 $converge, in questo caso ho $alpha=2$ quindi in$ x=3$ converge
intervallo di convergenza: $[-3,3]$
è corretto?
Grazie
"cri98":
considero$x=3 $
$\sum_0^{\infty} 1/n^2 (1)^n $
in questo caso ho un dubbio, devo calcolare direttamente il limite della serie, oppure deve considerare nuovamente il criterio del rapporto? come procedo?
Innanzitutto la serie non può partire da $n = 0 $, altrimenti si annullerebbe il denominatore; poi quella che hai ottenuto è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 2 > 1 $, notoriamente convergente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
"cri98":
è corretto?
"pilloeffe":
Dopodiché non dovresti avere problemi a scoprire che la risposta corretta è la 3).
ciao pilloeffe,
sono d'accordo con te che n deve partire da 1 (penso sia un trabocchetto).
però se consideriamo il caso in cui n=0, non posso considerare la serie armonica, in questo caso come dovrei procedere(posso affermare che in x=3 non si ha convergenza
) ed otterrei quindi un'intervallo di convergenza [-3,3)?
grazie!
ad esempio ho un altro esercizio simile:
$ sum_(n=0)^(oo)1/n^2(x/4)^n$
1)$[-4,4] $
2)$[0,4]$
3)$[-4,4)$
4)$(-4,4)$
utilizzo il criterio del rapporto:
$ lim_(n -> oo)1/(n+1)^2*1/4^(n+1)=1/4 $
$l=1/4$ quindi$ R=4$
devo considerare l'intervallo $(-4,4)$, vado a verificare se agli estremi converge:
per$ x=-4$ si ottiene:
$ sum_(n=0)^(oo)1/n^2(-4/4)^n=sum_(n=0)^(oo)(-1)^n1/n^2$
utilizzando il criterio di Leibniz
$ lim_(n -> oo) 1/n^2=0 $ per definizione converge
poi considero $x=4$
ed ottengo:
$ sum_(n=0)^(oo)1/n^2$
sono d'accordo con te che n deve partire da 1 (penso sia un trabocchetto).
però se consideriamo il caso in cui n=0, non posso considerare la serie armonica, in questo caso come dovrei procedere(posso affermare che in x=3 non si ha convergenza
) ed otterrei quindi un'intervallo di convergenza [-3,3)?
grazie!
ad esempio ho un altro esercizio simile:
$ sum_(n=0)^(oo)1/n^2(x/4)^n$
1)$[-4,4] $
2)$[0,4]$
3)$[-4,4)$
4)$(-4,4)$
utilizzo il criterio del rapporto:
$ lim_(n -> oo)1/(n+1)^2*1/4^(n+1)=1/4 $
$l=1/4$ quindi$ R=4$
devo considerare l'intervallo $(-4,4)$, vado a verificare se agli estremi converge:
per$ x=-4$ si ottiene:
$ sum_(n=0)^(oo)1/n^2(-4/4)^n=sum_(n=0)^(oo)(-1)^n1/n^2$
utilizzando il criterio di Leibniz
$ lim_(n -> oo) 1/n^2=0 $ per definizione converge
poi considero $x=4$
ed ottengo:
$ sum_(n=0)^(oo)1/n^2$
"cri98":
sono d'accordo con te che n deve partire da 1 (penso sia un trabocchetto).
??? L'unico "trabocchetto" che può esserci è quello di far sì che gli studenti capiscano autonomamente da quale valore deve partire $n$...
"cri98":
però se consideriamo il caso in cui n=0, non posso considerare la serie armonica, in questo caso come dovrei procedere(posso affermare che in x=3 non si ha convergenza
) ed otterrei quindi un'intervallo di convergenza [-3,3)?
Eh?"cri98":
ad esempio ho un altro esercizio simile:
"Mephlip":
Non capisco perché approcci così gli esercizi [...]
Concordo con Mephlip, hai un approccio completamente errato: magari fai meno esercizi, ma falli bene.
Quest'altra serie che hai proposto poi è identica a quello dell'OP, a parte un $4$ al posto di un $3$, quindi ovviamente la risposta corretta sarà la 1) (e anche quest'ultima serie proposta non può partire da $n = 0 $, quindi partirà da $n = 1 $).
ciao ragazzi,
anzitutto grazie per il vostro aiuto.
riguardo all'approccio degli esercizi, sto seguendo questa canale:
https://www.youtube.com/watch?v=ZwahIVqi0Mg
riguardo al risultato [-4,4]sono d'accordo
ho considerato:
$ sum_(n=0)^(oo)1/n^2 $
$ lim_(n -> oo) 1/n^2=0 $
quindi converge.
Grazie
anzitutto grazie per il vostro aiuto.
riguardo all'approccio degli esercizi, sto seguendo questa canale:
https://www.youtube.com/watch?v=ZwahIVqi0Mg
riguardo al risultato [-4,4]sono d'accordo
ho considerato:
$ sum_(n=0)^(oo)1/n^2 $
$ lim_(n -> oo) 1/n^2=0 $
quindi converge.
Grazie
"cri98":
anzitutto grazie per il vostro aiuto.
Prego.
"cri98":
riguardo all'approccio degli esercizi, sto seguendo questo canale:
https://www.youtube.com/watch?v=ZwahIVqi0Mg
Mi sentirei di consigliarti un approccio un po' più tradizionale (un bel libro di Analisi Matematica...
), che magari puoi sì "integrare" con materiale su Internet, questo forum ed eventuali canali tematici: sconsiglierei invece un approccio quasi esclusivamente in Rete, poi naturalmente fai come vuoi... Comunque vorrei farti notare che nel canale tematico che hai segnalato nessuna serie proposta parte da $n = 0 $: partono tutte da $k = 1 $.
"cri98":
ho considerato:
$\sum_{n = 0}^{\infty} 1/n^2 $
E dalle... Parte da $n = 1 $, non da $n = 0 $: $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 $
Quest'ultima è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 2 > 1 $ e pertanto è convergente. Se ne conosce anche la somma:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
"cri98":
$\lim_{n \to \infty} 1/n^2 = 0 $
quindi converge.
Questo significa solo che la serie può convergere, dato che è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{n \to \infty} a_n = 0 $, ma non è detto che lo faccia: anche $\lim_{n \to \infty} 1/n = 0 $, ma la serie $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n $ è la serie armonica, notoriamente divergente.
Per concludere ti propongo come esercizio un paio di generalizzazioni, cioè lo studio delle due serie seguenti:
1) $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 (x/a)^n $
con $a > 0 $. Ti faccio incidentalmente notare che se $a = 3 $ si ottiene la serie che hai proposto nell'OP, se $a = 4 $ si ottiene l'ultima serie che hai proposto.
2) $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^b (x/a)^n $
con $a > 0 $ e $b > 0 $. Naturalmente se $a = 3 $ e $b = 2 $ si ottiene la serie che hai proposto nell'OP, se $a = 4 $ e $b = 2 $ si ottiene l'ultima serie che hai proposto.
ciao pilloeffe,
ti ringrazio per i consigli, sto utilizzando sia il canale che il libro di testo altrimenti sarebbe un putiferio.
$ \sum_{n = 0}^{\infty} 1/n^2 $
ok mi dovrò rassegnare
(non riesco ancora a capire perché in tutti gli esercizi del compito la serie parte da n=0, lo considero come un errore di stampa).
grazie
ti ringrazio per i consigli, sto utilizzando sia il canale che il libro di testo altrimenti sarebbe un putiferio.
$ \sum_{n = 0}^{\infty} 1/n^2 $
ok mi dovrò rassegnare
(non riesco ancora a capire perché in tutti gli esercizi del compito la serie parte da n=0, lo considero come un errore di stampa).grazie
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