Esercizio serie di potenze
Ho questo esercizio:
Si consideri lo sviluppo in serie di potenze $e^(2z)=\sum_{n=0}^{+infty} a_nz^n$. Allora $a_3=$?
Che devo fare?
Si consideri lo sviluppo in serie di potenze $e^(2z)=\sum_{n=0}^{+infty} a_nz^n$. Allora $a_3=$?
Che devo fare?
Risposte
Dovresti ricordare che
$e^x=1+x+x^2/2+...$
$e^x=1+x+x^2/2+...$
Ah cavolo.
Quindi il 3 mi dice dove devo fermarmi nell'approssimazione?
Quindi basta che moltiplico tutto per due e basta?
Devo stamparmi la tabella delle serie di taylor...Mi dimentico sempre!
Grazie mille!
Quindi il 3 mi dice dove devo fermarmi nell'approssimazione?
Quindi basta che moltiplico tutto per due e basta?
Devo stamparmi la tabella delle serie di taylor...Mi dimentico sempre!
Grazie mille!
Occhio. io ti ho dato un aiuto. Adesso devi ragionare sul tuo esercizio.
Scrivila, così hai la conferma.. $a_3=$ ?
Scrivila, così hai la conferma.. $a_3=$ ?
Ah beh, si, $e^(2z)$ la posso scrivere come $(e^z)^2$.
Quindi
$e^(2z)=(1+z+z^2/2)^2$
Quindi
$e^(2z)=(1+z+z^2/2)^2$
$e^(2x)=1+2x+(2x)^2/2+(2x)^3/(3!)+...$
quindi $a_3=2^3/(3!)=8/6=4/3$
quindi $a_3=2^3/(3!)=8/6=4/3$
No, porzio, $a_3=\frac{8}{6!}=4/3$...
sì è vero,ovviamente $a_3$ è il coefficiente numerico.Correggo
sorry
sorry
Ah ho capito! Mi complicavo la vita per niente!
Grazie a tutti per la pazienza!
Grazie a tutti per la pazienza!
Devo trovare la somma della serie $\sum_{n=0}^{+infty} 2^n/n((2e^x-1)/(e^x))^n$
$y=((2e^x-1)/(e^x))^n$
Col criterio della radice ho trovato il raggio $1/2$ e l'insieme di convergenza $ln(2/5)<=x
Posso partire con lo sviluppo di $e^x=x^n/(n!)$ e buttarlo dentro alla y?
$y=((2e^x-1)/(e^x))^n$
Col criterio della radice ho trovato il raggio $1/2$ e l'insieme di convergenza $ln(2/5)<=x
Posso partire con lo sviluppo di $e^x=x^n/(n!)$ e buttarlo dentro alla y?
Ma a denominatore c'è $n$ o $n!$? Se è il secondo, allora sì, puoi farlo.
No, c'è $n$
ma il coefficiente $a_0$ non è definito se c'è $n$ al posto di $n!$
Chi fa una domanda è pregato di guardare bene quello che scrive. Tu hai scritto che la sommatoria parte da $n=0$, mentre nell'esercizio, come è giusto che sia, parte da $n=1$. Fare attenzione quando si fa una domanda è un bene sia per chi pone il quesito, sia per evitare perdite di tempo inutili nel cercare di comprenderlo cosa si è scritto o cosa si voglia fare.
Detto questo, è chiaro che così la serie esponenziale non funziona. Tuttavia, la posizione $t={2(2e^x-1)}/{e^x}$ ti permette di riscrivere la serie come $\sum_{n=1}^\infty {t^n}/{n}$ che dovrebbe risultarti familiare.
Detto questo, è chiaro che così la serie esponenziale non funziona. Tuttavia, la posizione $t={2(2e^x-1)}/{e^x}$ ti permette di riscrivere la serie come $\sum_{n=1}^\infty {t^n}/{n}$ che dovrebbe risultarti familiare.
Chiedo scusa. Non ci ho fatto caso.
Pensavo anche al logaritmo, oltre che all'esponenziale, ma viene fuori a segni alterni...
$log(x+1)=(-1)^(n-1)x^n/n$
Posso dimenticare il $(-1)^(n-1)$ e andare a sostituire direttamente il t?
Pensavo anche al logaritmo, oltre che all'esponenziale, ma viene fuori a segni alterni...
$log(x+1)=(-1)^(n-1)x^n/n$
Posso dimenticare il $(-1)^(n-1)$ e andare a sostituire direttamente il t?
posto $t=2(2e^x-1)/e^x$,si ha che la somma della serie è uguale a $-log(1-t)$
Il 2 che moltiplica t va a finire in $n-1$ e per questo torna il meno davanti il logaritmo?
"Shika93":
Il 2 che moltiplica t va a finire in $n-1$ e per questo torna il meno davanti il logaritmo?
Quale $t$, quale $n-1$ ?
Non si capisce cosa vuoi dire...
No, non è per quello. Lo sviluppo noto del logaritmo è il seguente:
$$\log(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}$$
Qui, invece, no abbiamo a che fare con la cosa seguente
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\cdot\frac{(-t)^n}{n}=-\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(-t)^n}{n}=-\log(1-t)$$
Sostituendo a ritroso si trova che
$$f(x)=-\log\left(1-\frac{4e^x-2}{e^x}\right)=-\log\left(\frac{2-3e^x}{e^x}\right)=-\log(2-3e^x)+\log e^x=x-\log(2-3e^x)$$
$$\log(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}$$
Qui, invece, no abbiamo a che fare con la cosa seguente
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\cdot\frac{(-t)^n}{n}=-\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(-t)^n}{n}=-\log(1-t)$$
Sostituendo a ritroso si trova che
$$f(x)=-\log\left(1-\frac{4e^x-2}{e^x}\right)=-\log\left(\frac{2-3e^x}{e^x}\right)=-\log(2-3e^x)+\log e^x=x-\log(2-3e^x)$$
Ah ecco ho capito!
Che cavolo! Non riesco mai a farli sti genere di esercizi!
Grazie mille!
Che cavolo! Non riesco mai a farli sti genere di esercizi!
Grazie mille!
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