Esercizio serie di laurent

[qadesh1]

ragazzi mi dite se è giusto il modo di procedere?
devo calcolare la serie di laurent della seguente funzione :
$f(z) = 1/((z-2)(z-1))$ nell'intevallo : $1<|z|<2$.
anzitutto scompongo in termini semplici...ottenendo: $f(z) = 1/(z-2) - 1/(z-1)$

si tratta di calcolare la serie di laurent in una corona circolare dove non sono presenti punti singolari.
svilupperò quindi entrambi gli addendi separatamente.

$f_1(z) = 1/(z-2) = 1/(z-2-1+1) = 1/((z-1)-1) = -1/(1-(z-1))$ se vale poi $|z-1|<1$ cioè $|z|<2$

allora vale lo sviluppo : $f_1(z)=-(1+(z-1)+(z-1)^2+(z-1)^3+......)$

poi:

$f_2(z) = 1/(z-1) = 1/z 1/(1-(1/z))$ ponendo: $1/|z|<1$ e cioè $|z|>1$ allora potrò sviluppare nel seguente modo:

$f_2(z) = 1/z (1+ 1/z + (1/z)^2 +(1/z)^3 +....)$

che ne dite??

[Camillo]

Da $|z-1 | <1 $ segue $|z| < 2 $ ma non $|z | > 1 $ bensì segue $|z|> 0 $ , quindi non va bene.

[qadesh1]

ok credo di aver capito..e chiedo conferma.

scomponendo abbiamo ,come gia detto, per $ 1<|z|<2$
$f(z) = 1/(z-2) -1/(z-1) $
$ = -1/2 1/(1- (z/2) ) + 1/2 1/(1-(1/z)) = -1/2(1+(z/2)+(z/2)^2 +(z/2)^3+....) +1/z (1+(1/z)+(1/z)^2+(1/2)^3+...)$

cioè in pratica bisogna "plasmare" le espressioni che abbiamo in modo da ottenere una serie geometrica convergente ,e quindi di ragione in modulo minore di uno, in base alle condizioni iniziali.giusto?

[dissonance]

Non per forza una serie geometrica, però. La tecnica (o, per meglio dire, una tecnica) è quella di ricondursi a sviluppi in serie noti, di cui si conosca anche il raggio di convergenza.

[Camillo]

E'corretto quanto dici, bisogna plasmare l'espressione in modo diverso a seconda in quali intervalli tu debba ottenere lo sviluppo di Laurent.
Mi sembra che il secondo gruppo debba avere un meno davanti $ -1/z (1/(1-1/z)) $ .
E' bene poi esprimere la serie in modo più conciso tipo $sum_(n=0 )^(+oo) ... $ .