Esercizio serie di funzioni con fattoriale

[Odysseo1]

Buongiorno a tutti, volevo chiedere come risolvere il seguente esercizio e se c'è un metodo da seguire nello studio della convergenza puntuale ed uniforme di una seria nel caso in cui ci siano fattoriali.
L'esercizio è il seguente:
"Determinare gli insiemi di convergenza puntuale e uniforme della seguente serie di funzioni:
$ \Sigma_{k=1}^{\infty}3^{k^5}x^{k!} $ ."
Grazie anticipatamente a tutti!

[gugo82]

Beh, semplicemente la successione dei coefficienti ha molti "buchi" poiché essa si scrive:
\[
a_n := \begin{cases} 3^{k^5} &\text{, se } n=k!\\
0 &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
e perciò va applicato il teorema di Cauchy-Hadamard col massimo limite per trovare il raggio di convergenza della serie.

[Odysseo1]

Scusa, ma non capisco da dove hai preso $n$ , e perchè gli $a_n$ dovrebbero essere 0.

[gugo82]

Scrivi esplicitamente qualche addendo della serie (tipo i primi $4$) e vedi un po' come vanno le cose...

[Odysseo1]

I primi quattro termini sono $3^5x+3^{32}x^2+3^{243}x^6+3^{1024}x^{24}$, non capisco ancora quale sia l'$n$ di cui parli.. la convergenza va studiata al variare di x.

[gugo82]

Ok, continui a guardare senza osservare...

Prova a rispondere alle domande seguenti.
Hai sotto mano una serie di potenze?
Se sì, ci sono tutti i termini che dovrebbero esserci?
Chi sono i coefficienti della serie?
E se non ci sono alcuni addendi, non puoi farli comparire moltiplicandoli per $0$?

Fatto ciò, scrivi qualche addendo (almeno i primi $24$, però!) della serie $sum_(n=0)^oo a_n x^n$ in cui $a_n$ sono quelli che ho definito sopra.
Cosa noti?

[anto_zoolander]

gugo le tue osservazioni mi piacciono sempre un sacco

[Odysseo1]

Ora, ho capito! Hai ragione, non stavo osservando, grazie mille