Esercizio serie di funzioni

[gbspeedy]

devo mostrare che questa serie converge uniformemente in ogni intervallo limitato
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n (x^2+n)/n^2$
ho pensato di calcolare Sup $|f_n(x)-s_n(x)|$ per $x in [a,b]$ cioè Sup $|sum_(k=n+1)^(+oo) (-1)^k (x^2+n)/k^2|$ che è $<=$ Sup$ sum_(k=n+1)^(+oo) (x^2+n)/k^2$ (°)
ora le $f_n(x)=(x^2+n)/n^2$ sono decrescenti xchè se calcolo la derivata prima rispetto a n ottengo $-(n+2x^2)/n^3$ che è minore di 0
quindi posso dire che (°) è $<=$ di Sup $(x^2+n+1)/(n+1)^2$?

[girdav]

Si ma il problema è che questa maggiorazione è troppo brusca. Si può scrivere che $\|\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^k\frac{x^2+k}{k^2}\|\leq \|\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^k\frac 1k\|+\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{x^2}{k^2}$.

[gugo82]

"gbspeedy":le $f_n(x)=(x^2+n)/n^2$ sono decrescenti xchè se calcolo la derivata prima rispetto a n ottengo $-(n+2x^2)/n^3$ che è minore di 0

E da quando in qua si può derivare rispetto ad una variabile discreta?

[gbspeedy]

quindi quando ho $f_n(x)$ la derivata la calcolo sempre solo rispetto a x?

[gugo82]

Vedo che non ti sei mai posto il problema...
Cosa vuol dire "derivare"?

[gbspeedy]

l'esercitatore in classe ha sbagliato.ha derivato rispetto a n.

[gugo82]

"gbspeedy":l'esercitatore in classe ha sbagliato.ha derivato rispetto a n.

Non "ha sbagliato" in senso stretto... Ma se lo pensi vuol dire, una volta di più, che non ti sei mai posto il problema.

Che vuol dire "derivare"?

[gbspeedy]

per studiare il comportamento della funzione rispetto alla variabile di derivazione

[_prime_number]

Non puoi farlo rispetto ad una variabile discreta. Nella definizione di derivata coinvolgi la nozione di limite e quindi di "intorno arbitrariamente piccolo" di un punto. Cosa significa quest'ultima cosa nell'ambito dei numeri naturali? Niente .

Paola

[gbspeedy]

la serie data la posso vedere come somma di queste due serie $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n x^2/n^2$ e $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n 1/n$
la seconda è una serie numerica convergente per il criterio di Leibniz
la prima dato $x in [-M,M] $ M>0 converge uniformemente perchè $sum_(n=1)^(+oo)$ Sup $x^2/n^2<=sum_(n=1)^(+oo) M^2/n^2$ ( e quest'ultima serie converge per confronto con serie armonica generalizzata)
quindi posso dire che la serie data converge uniformemente in ogni intervallo limitato

[gugo82]

"gbspeedy":per studiare il comportamento della funzione rispetto alla variabile di derivazione

Il che non significa nulla.

Come saprai certamente dalla teoria, "derivare" vuol dire prendere un limite facendo tendere la variabile verso un punto d'accumulazione per il dominio della funzione. Una successione è una funzione definita in un insieme, i.e. \(\mathbb{N}\), che ha un unico punto di accumulazione in \(+\infty\)... Quindi come credi sia mai possibile calcolarne la derivata in un punto al finito???

Se uno vuole usare proprio la derivata deve fare un'altro tipo di ragionamento.
In particolare, se la successione \(f_n(x)\) è la restrizione a \(\mathbb{N}\) di una funzione \(\phi (t,x)\), i.e. se \(f_n(x) =\phi (n,x))\), e se la funzione \(\phi (t,x)\) è parzialmente derivabile rispetto a \(t\) per ogni \(x\), allora è chiaro che la monotonia di \(f_n(x)\) può essere studiata guardando il comportamento della derivata della funzione \(t\mapsto \phi (t,x)\).
Nel caso in esame ciò è possibile, ma in generale non lo è affatto.

Per studiare la monotonia di una successione di funzioni \(f_n\) occorre, in generale, fissare \(x\) e dimostrare che \(f_{n+1} (x) \geq f_n(x)\) oppure \(f_{n+1} (x) \leq f_n(x)\) facendo un po' di conti.
Nel tuo caso avresti:
\[
f_{n+1} (x) = \frac{x^2 +(n+1)}{(n+1)^2} = \frac{x^2}{(n+1)^2} + \frac{1}{n+1} \leq \frac{x^2}{n^2} + \frac{1}{n} = f_n (x)
\]
quindi la tua successione è decrescente.

[gbspeedy]

ho capito.grazie a tutti.