Esercizio Serie di funzioni

[MogKaw]

Ragazzi scusate se sono così dritta al punto.. Ma è un esercizio che è capitato all'esame, e sicuramente mi chiederà all'orale (Lunedì!) Sono giorni che mi sbatto con la teoria, ma con questo genere di esercizi non riesco a metterla in pratica, per nulla, anche se ho compreso le varie definizioni, ma evidentemente sono troppo stanca per ragionarci ancora chi mi aiuta a svolgere questo esercizio gentilmente? Grazie! [img]http://tinypic.com/r/2cwnaiu/8[/img]

[Bremen000]

Ciao, ho trovato l'immagine ma le prossime volte metti il testo scritto in latex ;

Dunque, abbiamo:

$
\frac{1}{x}\sum_{n=1}^\infty (n*x^n)
$

Ad esempio utilizzando il criterio del rapporto:

$
\frac{1}{\rho} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n}) = 1 \Rightarrow \rho = 1
$

La serie dunque converge assolutamente e quindi anche semplicemente per $ -1
Per $x=1$ e $x=1$ la serie non converge.

Per quanto riguarda il calcolo della somma, consideriamo la serie geometrica (quando converge):

$
\sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}-1 = \frac{x}{1-x}
$

Ma allora:

$
(\sum_{n=1}^{\infty} x^n)' = \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} = \frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = (\frac{x}{1-x})' = \frac{1}{(1-x)^2}
$

Ciao!