Esercizio serie di funzioni

[Fab527]

Studiare la convergenza puntuale, totale ed uniforme della seguente serie di funzioni:

$ sum_(n= 1)^(oo) (x^(1/n)-1)/x^(n) $

Ho imposto inizialmente che $ x !=0 $ a causa del denominatore e che $ x>=0 $ a causa della radice. A questo punto ho notato che si hanno tre casi:

$ x>1 $
$ x=1 $
$ 0 < x < 1 $

Nel secondo caso si ha la serie nulla che quindi converge. Nel primo, tramite il criterio della radice $ lim_(x -> +oo) (x^(1/n)-1)^(1/n)/x->0 $ e la serie quindi converge ancora.

Nel terzo caso sono abbastanza in dubbio: si tratterebbe di una serie a termini negativi, posso studiarla normalmente cambiandola di segno e tirando fuori un meno?

In ogni caso, passando alla convergenza totale studio $ sum_(n= 1)^(oo) $ sup $|(x^(1/n)-1)/x^(n)| $, e considerando $ g(x)= (x^(1/n)-1)/x^(n) $ , $ g'(x)= (1/n*x^((1-n^2)/n)*x^n-n*x^(n-1)*(x^(1/n)-1))/x^(2n) = (1/n*x^(1/n)-n*x^((n^2-n+1)/n)+n*x^(n-1)) / x^(2n)" $ volendone studiare il segno, si vede che tale quantità è positiva quando il numeratore è positivo:

$ 1/n*x^(1/n)-n*x^((n^2-n+1)/n)+n*x^(n-1)>0 $ , $ x^(1/n)-n^2*x^(n)-n^2*x^(-1)-n^2*x^(1/n)+n^2*x^n+n^2*x^(-1)>0 $ , e infine semplificando si arriva a $ x^(1/n)(1-n^2)>0 $, ed essendo che x è comunque > 0 questa non è mai verificata, perciò la funzione g(x) è decrescente.

Come proseguire?

[ostrogoto1]

$ (x^(1/n)-1)/x^n=(e^(1/nlogx)-1)/x^n~1/nlogx/x^nrarr-oo $ per $ nrarr+oo $ et $ 0

Cita

Segnala