Esercizio serie di funzioni
Buongiorno, volevo essere sicuro di aver svolto correttamente questo esercizio sulle serie di funzioni.
"Studiare convergenza puntuale e uniforme della serie $sum_(n=1)^oo n^x (logn)^2$ nell'intervallo $(-oo, -2]$
Allora, la soluzione fornita procede così: calcola il sup del modulo del termine generale della serie nell'intervallo considerato, e questo sup viene $(logn)^2/n^2$. Fatto questo, dimostra che la serie numerica fatta con il sup è convergente, e quindi conclude che la serie di funzioni data converge totalmente nell'intervallo in questione. Quindi convergerà anche uniformemente e puntualmente in I.
Ora io all'inizio avevo proceduto così, tuttavia una volta calcolato il sup non mi veniva in mente come dimostrare che la serie $sum ((logn)^2)/n^2$ era convergente (a proposito, come si dimostra ciò)?
Quindi ho cambiato strada e ho risolto l'esercizio così. Ho considerato la successione di funzioni $n^x(logn)^2$ e ho preso la funzione $f(x)=0$. Ho quindi dimostrato che sia $f(x)$, sia la successione di funzioni sono limitate nell'intervallo dato. Poi ho calcolato il sup del modulo di $n^x(logn)^2$ nell'intervallo dato e questo sup era $(logn)^2/n^2$, che converge a $0$. Quindi ho concluso che la successione di funzioni converge uniformemente in $(-oo, -2]$ verso la funzione nulla. Quindi per definizione anche la serie di funzioni $sum_(n=1)^oo n^x (logn)^2$ convergerà uniformemente nell'intervallo dato verso la funzione nulla. Quindi si può dire che la serie di funzioni $sum_(n=1)^oo n^x (logn)^2$ converge uniformemente nell'intervallo dato. Quindi converge anche puntualmente nell'intervallo dato. Quindi l'esercizio è terminato:)
E' ok?
"Studiare convergenza puntuale e uniforme della serie $sum_(n=1)^oo n^x (logn)^2$ nell'intervallo $(-oo, -2]$
Allora, la soluzione fornita procede così: calcola il sup del modulo del termine generale della serie nell'intervallo considerato, e questo sup viene $(logn)^2/n^2$. Fatto questo, dimostra che la serie numerica fatta con il sup è convergente, e quindi conclude che la serie di funzioni data converge totalmente nell'intervallo in questione. Quindi convergerà anche uniformemente e puntualmente in I.
Ora io all'inizio avevo proceduto così, tuttavia una volta calcolato il sup non mi veniva in mente come dimostrare che la serie $sum ((logn)^2)/n^2$ era convergente (a proposito, come si dimostra ciò)?
Quindi ho cambiato strada e ho risolto l'esercizio così. Ho considerato la successione di funzioni $n^x(logn)^2$ e ho preso la funzione $f(x)=0$. Ho quindi dimostrato che sia $f(x)$, sia la successione di funzioni sono limitate nell'intervallo dato. Poi ho calcolato il sup del modulo di $n^x(logn)^2$ nell'intervallo dato e questo sup era $(logn)^2/n^2$, che converge a $0$. Quindi ho concluso che la successione di funzioni converge uniformemente in $(-oo, -2]$ verso la funzione nulla. Quindi per definizione anche la serie di funzioni $sum_(n=1)^oo n^x (logn)^2$ convergerà uniformemente nell'intervallo dato verso la funzione nulla. Quindi si può dire che la serie di funzioni $sum_(n=1)^oo n^x (logn)^2$ converge uniformemente nell'intervallo dato. Quindi converge anche puntualmente nell'intervallo dato. Quindi l'esercizio è terminato:)
E' ok?
Risposte
"lisdap":
Ora io all'inizio avevo proceduto così, tuttavia una volta calcolato il sup non mi veniva in mente come dimostrare che la serie $sum ((logn)^2)/n^2$ era convergente (a proposito, come si dimostra ciò)?
Mi pare lo si dimostri con il criterio di condensazione -analisi uno. E' la storia del tipo:
\[\sum_n \frac{1}{n^p \log^q{n}} = \begin{cases} \text{converge} & p > 1,\,\forall{q} \\ \ldots{} \\ \ldots{} \end{cases} \]
Quindi ho concluso che la successione di funzioni converge uniformemente in $(-oo, -2]$ verso la funzione nulla. Quindi per definizione anche la serie di funzioni $sum_(n=1)^oo n^x (logn)^2$ convergerà uniformemente nell'intervallo dato verso la funzione nulla.
A quale definizione ti rifai?
Quindi si può dire che la serie di funzioni $sum_(n=1)^oo n^x (logn)^2$ converge uniformemente nell'intervallo dato.
Ti ricordo che
\[\sup_x \left| f_n(x) \right| \to 0\]
e' nec-ma-non-suff alla convergenza della serie -in modo speculare a quanto succede per le serie numeriche.
Chi ha svolto l'esercizio prima di te s'e' rifatto (in modo piuttosto standard) ad un risultato pensato da K.Weierstrass:
Se \(\sum \|f_n\|\) converge \(\Rightarrow\) \(\sum f_n\) converge uniformemente.
"lisdap":
Ora io all'inizio avevo proceduto così, tuttavia una volta calcolato il sup non mi veniva in mente come dimostrare che la serie $ sum ((logn)^2)/n^2 $ era convergente (a proposito, come si dimostra ciò)?
Si può effettuare il confronto con l'integrale $\int_1^(+oo)(\logx)^2/(x^2)$
che può essere valutato col cambio di variabile $t=1/x$
$\int_0^1 t^2 \log^2(1/t) 1/(-t^2) dt = \int_0^1-\log^2t dt = -xlog^2t|_0^1+\int_0^1 2\logt\ dt$
eccetera...
A giuscri: hai ragione, il mio ragionamento è sbagliato. Quindi non mi resta a altro che procedere come la soluzione e dimostrare la convergenza di quella serie numerica, come suggerito da Quinzio ad esempio.
Ho altre domande:
1) c'è un teorema che dice che se una serie di funzioni converge totalmente in I, allora converge anche uniformemente in I. Cosa significa di preciso questo teorema?
- significa che se dimostro che una serie di funzioni converge totalmente in I, allora posso essere sicuro del fatto che esiste ALMENO una funzione $f(x)$ verso cui la serie convergerà uniformemente in I?
-oppure significa che, se una serie converge totalmente in I, allora convergerà uniformemente in I verso una qualunque funzione f definita su I?
Grazie...
Ho altre domande:
1) c'è un teorema che dice che se una serie di funzioni converge totalmente in I, allora converge anche uniformemente in I. Cosa significa di preciso questo teorema?
- significa che se dimostro che una serie di funzioni converge totalmente in I, allora posso essere sicuro del fatto che esiste ALMENO una funzione $f(x)$ verso cui la serie convergerà uniformemente in I?
-oppure significa che, se una serie converge totalmente in I, allora convergerà uniformemente in I verso una qualunque funzione f definita su I?
Grazie...
"lisdap":
1) c'è un teorema che dice che se una serie di funzioni converge totalmente in I, allora converge anche uniformemente in I.
Si. E' quello che ti ho postato sopra -quello dovuto a Weierstrass.
- significa che se dimostro che una serie di funzioni converge totalmente in I, allora posso essere sicuro del fatto che esiste ALMENO una funzione $f(x)$ verso cui la serie convergerà uniformemente in I?
Prova a chiarirti un po' le idee. Il valore \(f(x)\) a cui converge puntualmente una successione di funzioni (nel caso delle serie, la successione delle somma parziali) e' unico. Mi pare sia una delle prime cose che si vede in analisi uno (se il limite di una successione numerica esiste, e' unico).
-oppure significa che, se una serie converge totalmente in I, allora convergerà uniformemente in I verso una qualunque funzione f definita su I?
Questo e' troppo! Sarebbe figo pero'!
Scusa, ma per quanto mi riguarda devo sparire per un po'. Spero riesca a ricevere altre risposte piu' chiarificanti intanto!
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