Esercizio serie di funzione, ulteriore delucidazione
Salve a tutti, vi propongo il seguente esercizio, verso il quale spero possiate aiutarmi.
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\1/(n!)((1-x^2)/(3x-1))^n$
Ok allora facendo il dominio ottengo che la funzione è definita da ]-oo; -1/3[ U ]1/3;+oo[
Fin qui tutto chiaro. Ora devo studiare la convergenza puntuale, il problema è che il libro adopera un procedimento che non ho ben capito ovvero sostituisce a $y=(1-x^2)/(3x-1)$
Successivamente scrive che
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\1/(n!)y^n=e^y$ per ogni y appartenente ad R
A questo punto il libro asserisce che la serie covnerge puntualmente per ogni x diversa da 1/3.
Dubbio 1: Affinché la funzione converga puntualmente il limite non dovrebbe essere finito? Io negli esercizi precedenti asserivo che una funzione convergeva puntualmente quando esisteva limite della funzione, fissato x appartenente ad A.
In questo caso invece la funzione diverge sempre e quindi come fa a dire che invece converge sempre per ogni x diverso da 1/3?
dopodiché studia i limiti della funzione $y=(1-x^2)/(3x-1)$ per:
x-> +oo = -oo
x->-oo = +oo
x->1/3 (da sinistra) = -oo
x-> 1/3 (da destra) = +oo
e infine afferma che a seguito di questi limiti la serie converge totalmente in [a,b] U [c,d] con b<1/3
Dubbio 2: come fa a dire che converge totalmente semplicemente con lo studio di questi limiti?
Ma passiamo a come io l'ho svolto prima di vedere la soluzione.
Partendo dal presupposto che non mi è venuto in mente di adoperare quella sostituzione, quindi mi chiedo:
Dubbio 3: è possibile risolvere quella serie, lasciando la funzione invariata?
Il dominio nel mio caso era uguale però quando ho provato a studiare i limiti agli estremi dell'intervallo effettivamente ho avuto qualche problema, come vi mostro qui di seguito
$\lim_{n->infty}\1/(n!)((1-x^2)/(3x-1))^n=lim_{n->infty}\1/(n!)((-x^2)/(3x))^n$
Ma mi esce a questo punto -oo per 0.
Quindi vorrei anche sapere se fosse possibile procedere col mio metodo (ovvero senza la sostituzione) e di conseguenza in che modo.
Spero possiate aiutarmi e di essere stato chiaro. Grazie
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\1/(n!)((1-x^2)/(3x-1))^n$
Ok allora facendo il dominio ottengo che la funzione è definita da ]-oo; -1/3[ U ]1/3;+oo[
Fin qui tutto chiaro. Ora devo studiare la convergenza puntuale, il problema è che il libro adopera un procedimento che non ho ben capito ovvero sostituisce a $y=(1-x^2)/(3x-1)$
Successivamente scrive che
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\1/(n!)y^n=e^y$ per ogni y appartenente ad R
A questo punto il libro asserisce che la serie covnerge puntualmente per ogni x diversa da 1/3.
Dubbio 1: Affinché la funzione converga puntualmente il limite non dovrebbe essere finito? Io negli esercizi precedenti asserivo che una funzione convergeva puntualmente quando esisteva limite della funzione, fissato x appartenente ad A.
In questo caso invece la funzione diverge sempre e quindi come fa a dire che invece converge sempre per ogni x diverso da 1/3?
dopodiché studia i limiti della funzione $y=(1-x^2)/(3x-1)$ per:
x-> +oo = -oo
x->-oo = +oo
x->1/3 (da sinistra) = -oo
x-> 1/3 (da destra) = +oo
e infine afferma che a seguito di questi limiti la serie converge totalmente in [a,b] U [c,d] con b<1/3
Dubbio 2: come fa a dire che converge totalmente semplicemente con lo studio di questi limiti?
Ma passiamo a come io l'ho svolto prima di vedere la soluzione.
Partendo dal presupposto che non mi è venuto in mente di adoperare quella sostituzione, quindi mi chiedo:
Dubbio 3: è possibile risolvere quella serie, lasciando la funzione invariata?
Il dominio nel mio caso era uguale però quando ho provato a studiare i limiti agli estremi dell'intervallo effettivamente ho avuto qualche problema, come vi mostro qui di seguito
$\lim_{n->infty}\1/(n!)((1-x^2)/(3x-1))^n=lim_{n->infty}\1/(n!)((-x^2)/(3x))^n$
Ma mi esce a questo punto -oo per 0.
Quindi vorrei anche sapere se fosse possibile procedere col mio metodo (ovvero senza la sostituzione) e di conseguenza in che modo.
Spero possiate aiutarmi e di essere stato chiaro. Grazie
Risposte
Non si capisce se hai capito che la serie è lo sviluppo di Taylor di $e^y$.
Una volta appurato ciò, tutto ciò che vale per $e^y$, vale anche per la serie.
Quindi in sostanza basta che hai $y\ne+oo$, e hai tutte le convergenze: puntuale, uniforme, totale..
Una volta appurato ciò, tutto ciò che vale per $e^y$, vale anche per la serie.
Quindi in sostanza basta che hai $y\ne+oo$, e hai tutte le convergenze: puntuale, uniforme, totale..
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