Esercizio Serie di Fourier
Salve a tutti ho un problema con questo esercizio che è riportato sulla mia dispensa.
In pratica devo scrivere la serie di Fourier di questo segnale:
$x(t) = \{(1,0
Pertanto calcoliamo i coefficienti $b_k$ sapendo che il periodo e la pulsazione valgono rispettivamente $T=2pi$ e $\omega_0=1$
$b_k=1/pi*[int_0^pi (1)*sin(kt) dt + int_pi^(2pi) (-1)sin(kt) dt]$
$=1/pi*[-1/k[cos(kt)]_0^pi + 1/k[cos(kt)]_pi^(2pi)]$
$=1/(kpi)*[[1-cos(kpi)] + [cos(k2pi)-cos(kpi)]]$
$=1/(kpi)*[1+cos(k2pi)-2cos(kpi)]$
$={(0, k" pari"),(4/(kpi), k" dispari"):}$.
La serie di Fourier quindi è in soli seni,cioè
$x(t)=\sum_{k=1}^(+infty) b_k*sin(k\omega_0t)=4/(pi)*\sum_{k=1}^(+infty) 1/(2k-1)*sin(2k-1)t$.
Viene scritta in questo modo $x(t)=4/(pi)*\sum_{k=1}^(+infty) 1/(2k-1)*sin(2k-1)t$ perchè ponendola così si tiene conto solo dei $k$ dispari,giusto?
Vi ringrazio in anticipo!
In pratica devo scrivere la serie di Fourier di questo segnale:
$x(t) = \{(1,0
Pertanto calcoliamo i coefficienti $b_k$ sapendo che il periodo e la pulsazione valgono rispettivamente $T=2pi$ e $\omega_0=1$
$b_k=1/pi*[int_0^pi (1)*sin(kt) dt + int_pi^(2pi) (-1)sin(kt) dt]$
$=1/pi*[-1/k[cos(kt)]_0^pi + 1/k[cos(kt)]_pi^(2pi)]$
$=1/(kpi)*[[1-cos(kpi)] + [cos(k2pi)-cos(kpi)]]$
$=1/(kpi)*[1+cos(k2pi)-2cos(kpi)]$
$={(0, k" pari"),(4/(kpi), k" dispari"):}$.
La serie di Fourier quindi è in soli seni,cioè
$x(t)=\sum_{k=1}^(+infty) b_k*sin(k\omega_0t)=4/(pi)*\sum_{k=1}^(+infty) 1/(2k-1)*sin(2k-1)t$.
Viene scritta in questo modo $x(t)=4/(pi)*\sum_{k=1}^(+infty) 1/(2k-1)*sin(2k-1)t$ perchè ponendola così si tiene conto solo dei $k$ dispari,giusto?
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
si, infatti si usa il 2k-1 per considerare tutti gli indici dispari.
Beh, sì.
Formalmente hai fatto in [tex]\sum_{k=0}^{+\infty} b_k\ \sin (k\omega_0\ t)[/tex] la sostituzione d'indici [tex]$k=2h-1$[/tex], quindi hai scritto la serie come [tex]\sum_{h=1}^{+\infty} b_{2h-1}\ \sin [(2h-1)\omega_0\ t][/tex] e poi hai cambiato di nuovo il nome all'indice di sommatoria (che, essendo una "variabile muta" come la variabile d'integrazione in un integrale definito, può essere chiamato col nome che si preferisce senza alterare in alcun modo il valore od il significato della somma).
Formalmente hai fatto in [tex]\sum_{k=0}^{+\infty} b_k\ \sin (k\omega_0\ t)[/tex] la sostituzione d'indici [tex]$k=2h-1$[/tex], quindi hai scritto la serie come [tex]\sum_{h=1}^{+\infty} b_{2h-1}\ \sin [(2h-1)\omega_0\ t][/tex] e poi hai cambiato di nuovo il nome all'indice di sommatoria (che, essendo una "variabile muta" come la variabile d'integrazione in un integrale definito, può essere chiamato col nome che si preferisce senza alterare in alcun modo il valore od il significato della somma).
Vi ringrazio per le risposte!
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