Esercizio serie di fourier
Sia f(x) una funzione $2pi$ periodica, pari, tale che
f(x) = $pi/2 - x$ se $0<=x
a me viene:
ao = $2/pi int_ (0)^(pi/2) (pi/2 -x) dx = pi/4$
an = $2/pi int_ (0)^(pi/2) (pi/2 -x) cos nx dx = .... =2/pi [ cos0/n^2 - (cosnpi/2) /n^2]$ dunque...
$[ cos0/n^2 - (cosnpi/2) /n^2] = 0 $ se $ n= 4k + 4$
$[ cos0/n^2 - (cosnpi/2) /n^2] = 1$ se $ n = 2k + 1 $
$[ cos0/n^2 - (cosnpi/2) /n^2] = 2 $ se $ n = 2(2k + 1) $
quindi
an = $2/pi( 1/(2k+1)^2 + 2/(2(2k+1))^2) = .... = 3/pi( 1/(2k+1)^2) $
allora:
f(x)=$ pi/8 + 3/pi sum_(k=0)^(k=oo) 1/(2k+1)^2 cosnx$
A me sembrerebbe giusta, salvo che al secondo punto si chiede di dimostrare con l'uguaglianza di Parseval che $sum_(k=0)^(k=oo) 1/(2k+1)^4 = pi^4 /96$
qui a me viene:
$1/pi int_(-pi/2)^(pi/2)(pi/2-x)^2=pi^2/32 + 9/pi^2 sum_(k=0)^(k=oo) 1/(2k+1)^4$
$pi^2/3 = pi^2 /32 + 9/pi^2 sum_(k=0)^(k=oo) 1/(2k+1)^4$
$sum_(k=0)^(k=oo) 1/(2k+1)^4 = 29/(96*9) pi^4 $
L'ho rifatta non so quante volte......non capisco dove sbaglio Qualcuno può aiutarmi???
f(x) = $pi/2 - x$ se $0<=x
a me viene:
ao = $2/pi int_ (0)^(pi/2) (pi/2 -x) dx = pi/4$
an = $2/pi int_ (0)^(pi/2) (pi/2 -x) cos nx dx = .... =2/pi [ cos0/n^2 - (cosnpi/2) /n^2]$ dunque...
$[ cos0/n^2 - (cosnpi/2) /n^2] = 0 $ se $ n= 4k + 4$
$[ cos0/n^2 - (cosnpi/2) /n^2] = 1$ se $ n = 2k + 1 $
$[ cos0/n^2 - (cosnpi/2) /n^2] = 2 $ se $ n = 2(2k + 1) $
quindi
an = $2/pi( 1/(2k+1)^2 + 2/(2(2k+1))^2) = .... = 3/pi( 1/(2k+1)^2) $
allora:
f(x)=$ pi/8 + 3/pi sum_(k=0)^(k=oo) 1/(2k+1)^2 cosnx$
A me sembrerebbe giusta, salvo che al secondo punto si chiede di dimostrare con l'uguaglianza di Parseval che $sum_(k=0)^(k=oo) 1/(2k+1)^4 = pi^4 /96$
qui a me viene:
$1/pi int_(-pi/2)^(pi/2)(pi/2-x)^2=pi^2/32 + 9/pi^2 sum_(k=0)^(k=oo) 1/(2k+1)^4$
$pi^2/3 = pi^2 /32 + 9/pi^2 sum_(k=0)^(k=oo) 1/(2k+1)^4$
$sum_(k=0)^(k=oo) 1/(2k+1)^4 = 29/(96*9) pi^4 $
L'ho rifatta non so quante volte......non capisco dove sbaglio Qualcuno può aiutarmi???
Risposte
Se è [tex]2\pi[/tex] periodica, quanto vale nell'intervallo [tex][\pi,2\pi][/tex]?
Il testo dell' esercizio (che poi è un compito di esame) non lo dice.
Ma io ho pensato che $2pi$ periodico dovesse essere interpretato come $- pi, pi$
Ma io ho pensato che $2pi$ periodico dovesse essere interpretato come $- pi, pi$
Bè se la funzione è pari significa che ci sarà anche la parte:
$f(x) = \pi/2 + x$ per $-\pi/2 < x < 0$
$f(x) = 0$ per $-\pi < x < -\pi/2$
In qualcunuq caso, secondo me dovresti molplicare per 2 fin dall' inizio, in virtù della parità..
$f(x) = \pi/2 + x$ per $-\pi/2 < x < 0$
$f(x) = 0$ per $-\pi < x < -\pi/2$
In qualcunuq caso, secondo me dovresti molplicare per 2 fin dall' inizio, in virtù della parità..
Aggiungo che l' integrale che hai svolto già alla prima riga è sbagliato.
Se spezzi l' integrale come: $2/\pi\int_{0}^{\pi/2}(\pi/2 - x)cos(nx)dx = 2/\pi\int_{0}^{\pi/2}\pi/2cos(nx) - 2/\pi\int_{0}^{\pi/2}xcos(nx)dx$
il risultato sarà ben diverso..
Se spezzi l' integrale come: $2/\pi\int_{0}^{\pi/2}(\pi/2 - x)cos(nx)dx = 2/\pi\int_{0}^{\pi/2}\pi/2cos(nx) - 2/\pi\int_{0}^{\pi/2}xcos(nx)dx$
il risultato sarà ben diverso..
ti riporto i passaggi:
$2/pi int_(0)^(pi/2) pi/2 cos(nx) dx - 2/pi int_(0)^(pi/2) x cos(nx) dx$ =
$2/pi (pi/2 |(sen (nx))/n|_(0)^(pi/2)) - 2/pi(|x(sen(nx))/n|_(0)^(pi/2) - int_(0)^(pi/2)(sen(nx))/n dx)$ =
$2/pi (pi/2 |(sen (nx))/n|_(0)^(pi/2)) - 2/pi(|x(sen(nx))/n|_(0)^(pi/2)) +2/pi( int_(0)^(pi/2)(sen(nx))/n dx)$ =
$2/pi (pi/2 |(sen (nx))/n|_(0)^(pi/2)) - 2/pi(|x(sen(nx))/n|_(0)^(pi/2)) + 2/pi( |-(cos(nx))/n^2|_(0)^(pi/2))$ =
$2/pi (pi/2 |(sen (nx))/n|_(0)^(pi/2)) - 2/pi(|x(sen(nx))/n|_(0)^(pi/2)) - 2/pi( |(cos(nx))/n^2|_(0)^(pi/2))$ =
$2/pi (pi/2 (sen (npi/2))/n - 0) - 2/pi(pi/2(sen(npi/2))/n-0) - 2/pi( |(cos(nx))/n^2|_(0)^(pi/2))$ =$- 2/pi( |(cos(nx))/n^2|_(0)^(pi/2))$=
$-2/pi ((cos(npi/2))/n^2 - (cos(n0))/n^2)$ = $2/pi(cos0/n^2 - (cos(npi/2))/n^2)$
a questo punto vale quello gia scritto in precedenza.
$[ cos0/n^2 - (cosnpi/2) /n^2] = 0 $ se $ n= 4k + 4$
$[ cos0/n^2 - (cosnpi/2) /n^2] = 1$ se $ n = 2k + 1 $
$[ cos0/n^2 - (cosnpi/2) /n^2] = 2 $ se $ n = 2(2k + 1) $
$2/pi int_(0)^(pi/2) pi/2 cos(nx) dx - 2/pi int_(0)^(pi/2) x cos(nx) dx$ =
$2/pi (pi/2 |(sen (nx))/n|_(0)^(pi/2)) - 2/pi(|x(sen(nx))/n|_(0)^(pi/2) - int_(0)^(pi/2)(sen(nx))/n dx)$ =
$2/pi (pi/2 |(sen (nx))/n|_(0)^(pi/2)) - 2/pi(|x(sen(nx))/n|_(0)^(pi/2)) +2/pi( int_(0)^(pi/2)(sen(nx))/n dx)$ =
$2/pi (pi/2 |(sen (nx))/n|_(0)^(pi/2)) - 2/pi(|x(sen(nx))/n|_(0)^(pi/2)) + 2/pi( |-(cos(nx))/n^2|_(0)^(pi/2))$ =
$2/pi (pi/2 |(sen (nx))/n|_(0)^(pi/2)) - 2/pi(|x(sen(nx))/n|_(0)^(pi/2)) - 2/pi( |(cos(nx))/n^2|_(0)^(pi/2))$ =
$2/pi (pi/2 (sen (npi/2))/n - 0) - 2/pi(pi/2(sen(npi/2))/n-0) - 2/pi( |(cos(nx))/n^2|_(0)^(pi/2))$ =$- 2/pi( |(cos(nx))/n^2|_(0)^(pi/2))$=
$-2/pi ((cos(npi/2))/n^2 - (cos(n0))/n^2)$ = $2/pi(cos0/n^2 - (cos(npi/2))/n^2)$
a questo punto vale quello gia scritto in precedenza.
$[ cos0/n^2 - (cosnpi/2) /n^2] = 0 $ se $ n= 4k + 4$
$[ cos0/n^2 - (cosnpi/2) /n^2] = 1$ se $ n = 2k + 1 $
$[ cos0/n^2 - (cosnpi/2) /n^2] = 2 $ se $ n = 2(2k + 1) $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo