Esercizio serie, con parametro.
Buonasera,
ho la seguente serie dove chiede di determinare il carattere della serie al viariare del parametro $a$, segue:
Indicatemi dove ho sbagliato.
Con $a ne 0$,
applico il criterio del confronto asintotico,
$a_n ~ (n^n)/((an)^n-e^n) = (n^n)/((n^n)(a^n-e^n/n^n))=1/(a^n-e^n/n^n)$, per $n to + infty$,considerando che: $lim_(n to +infty)e^n/(an)^n=lim_(n to +infty) (e/(an))^n=0 $.
Quindi $a_n ~ 1/a^n=b_n$, per $n to + infty$.
Per cui devo determinare il carattere della nuova serie di termine generale $b_n$, per cui
trattasi di una serie geometrica, di ragione $q=1/a$, si ha:
Per il criterio del confronto asintotico, si ha il carattere della serie di partenza, per:
- converge $|q|<1 to |a|>1$,
- diverge $|q| ge 1 to |a| le 1 $.
Invece per $a=0$,
applico il criterio del confronto asintotico,
$a_n ~ ((n^n-n!)/(-e^n)) ~(n^n/-e^n)=b_n$, per $n to +infty$.
Per cui devo determinare il carattere della nuova serie di termine generale $b_n$, per cui
trattasi di una serie a termini negativi, quindi porto il segno fuori, e determino il carattere delle serie senza tener conto del segno. Ovviamente se la serie senza segno converge ad $l$, allora la serie con segno, converge ad $-l$, invece se la serie senza segno diverge ad $+ infty$, allora la serie con segno, diverge ad $-infty$.
Applico alla serie senza segno, il criterio della radice, cioè
$lim_(n to +infty) [(n/e)^n]^(1/n)=lim_(n to infty) (n/e)=+infty$.
Per cui per il criterio della radice, la serie senza segno, diverge a $+ infty$, quindi la serie con segno, diverge a $-infty$.
Infine per il criterio del confronto asintotico, la serie di partenza, diverge a $-infty$
Buonasera.
ho la seguente serie dove chiede di determinare il carattere della serie al viariare del parametro $a$, segue:
$sum_1^infty (n^n-n!)/((an)^n-e^n)$
Indicatemi dove ho sbagliato.
Con $a ne 0$,
applico il criterio del confronto asintotico,
$a_n ~ (n^n)/((an)^n-e^n) = (n^n)/((n^n)(a^n-e^n/n^n))=1/(a^n-e^n/n^n)$, per $n to + infty$,considerando che: $lim_(n to +infty)e^n/(an)^n=lim_(n to +infty) (e/(an))^n=0 $.
Quindi $a_n ~ 1/a^n=b_n$, per $n to + infty$.
Per cui devo determinare il carattere della nuova serie di termine generale $b_n$, per cui
$sum_1^infty 1/a^n$
trattasi di una serie geometrica, di ragione $q=1/a$, si ha:
Per il criterio del confronto asintotico, si ha il carattere della serie di partenza, per:
- converge $|q|<1 to |a|>1$,
- diverge $|q| ge 1 to |a| le 1 $.
Invece per $a=0$,
applico il criterio del confronto asintotico,
$a_n ~ ((n^n-n!)/(-e^n)) ~(n^n/-e^n)=b_n$, per $n to +infty$.
Per cui devo determinare il carattere della nuova serie di termine generale $b_n$, per cui
$sum_1^infty n^n/-e^n$
trattasi di una serie a termini negativi, quindi porto il segno fuori, e determino il carattere delle serie senza tener conto del segno. Ovviamente se la serie senza segno converge ad $l$, allora la serie con segno, converge ad $-l$, invece se la serie senza segno diverge ad $+ infty$, allora la serie con segno, diverge ad $-infty$.
Applico alla serie senza segno, il criterio della radice, cioè
$lim_(n to +infty) [(n/e)^n]^(1/n)=lim_(n to infty) (n/e)=+infty$.
Per cui per il criterio della radice, la serie senza segno, diverge a $+ infty$, quindi la serie con segno, diverge a $-infty$.
Infine per il criterio del confronto asintotico, la serie di partenza, diverge a $-infty$
Buonasera.
Risposte
Ma tu sei sicuro di avere sbagliato?
Buongiorno dissonance,
il presente esercizio l'ho trovato su una dispensa "FORTI", quì su matematicamente, consigliata, se non mi sbaglio proprio da te
.
Sulla dispensa, ci sono i risultati, mi trovo, l'unica cosa che non sono molto sicuro, è: l'ho svolto nel modo correto ?
il presente esercizio l'ho trovato su una dispensa "FORTI", quì su matematicamente, consigliata, se non mi sbaglio proprio da te
. Sulla dispensa, ci sono i risultati, mi trovo, l'unica cosa che non sono molto sicuro, è: l'ho svolto nel modo correto ?
Aaah lo sapevo io. Hai scritto "dove ho sbagliato?", ma in realtà non hai sbagliato da nessuna parte. 
Se ti trovi con i risultati sarà corretto. Non ti preoccupare, cerca di acquistare sicurezza. Comunque, ho dato una occhiata veloce e mi pare a posto.
Se ti trovi con i risultati sarà corretto. Non ti preoccupare, cerca di acquistare sicurezza. Comunque, ho dato una occhiata veloce e mi pare a posto.
Grazie dissonance
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