Esercizio serie con parametro
Ciao a tutti,
mercoledì' ho un esame, e il mio vero tallone d'achille rispetto a tutto il programma sono le serie.
Quindi cerco di esercitarmi il piu' possibile a riguardo, ma purtroppo c'e' una serie che non riesco proprio a fare!
L'esercizio e' il seguente:
determinare al parametro di a(a appartiene a R) il carattere della serie:
$ sum_(n = 1)n^a(ln(1+1/n)-sin(1/n)) $
Ovviamente la serie va da 1 a + infinito.
Ora, il mio problema non sono tanto i calcoli, quanto i procedimento logici che devo applicare al fine di risolvere l'esercizio!!
quindi la mia domanda e': cosa devo fare? (apparte verificare la condizione necessaria facendo lim n->+inf ....)
Grazie a tutti in anticipo!
Mi salvereste la vita!!
mercoledì' ho un esame, e il mio vero tallone d'achille rispetto a tutto il programma sono le serie.
Quindi cerco di esercitarmi il piu' possibile a riguardo, ma purtroppo c'e' una serie che non riesco proprio a fare!
L'esercizio e' il seguente:
determinare al parametro di a(a appartiene a R) il carattere della serie:
$ sum_(n = 1)n^a(ln(1+1/n)-sin(1/n)) $
Ovviamente la serie va da 1 a + infinito.
Ora, il mio problema non sono tanto i calcoli, quanto i procedimento logici che devo applicare al fine di risolvere l'esercizio!!
quindi la mia domanda e': cosa devo fare? (apparte verificare la condizione necessaria facendo lim n->+inf ....)
Grazie a tutti in anticipo!
Mi salvereste la vita!!
Risposte
ho verificato con de l'hopital che per $x rarr 0$,$ln(1+x)-sinx$ è un infinitesimo di ordine 2
quindi, per $n rarr +infty$ il fattore tra parentesi del termine generale della serie è asintotico a $1/n^2$
ne segue che la tua serie ha lo stesso carattere della serie di termine generale $n^(alpha-2)$
a questo punto è facile concludere
quindi, per $n rarr +infty$ il fattore tra parentesi del termine generale della serie è asintotico a $1/n^2$
ne segue che la tua serie ha lo stesso carattere della serie di termine generale $n^(alpha-2)$
a questo punto è facile concludere
Consideriamo la serie
\[\sum_{n = 1}^{+\infty}n^a\left[\ln\left( 1+\frac{1}{n}\right)-\sin\left( \frac{1}{n}\right)\right];\]
si tratta evidentemente di una seire a termini definitivamente negativi, con termine generale infinitesimo; in questo caso, per studiarne il carattere, è opportuno sviluppare il termine generale con Taylor:
\begin{align}n^a\left[ \frac{1}{n} -\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)- \frac{1}{n} + \frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right) \right]&=n^a\left[ -\frac{1}{2n^2} +o\left(\frac{1}{n^3}\right) \right]\\
&\sim -\frac{1}{2n^{2-a}};
\end{align}
ora, il termine generale della serie assegnata risulta asintoticamente equivalente al termine generale della serie
\begin{align} -\frac{1}{2n^{2-a}},
\end{align}
che risulta convergente se $2-a>1.$ Gli stessi ragionamenti li potevi fare in mezza riga come ti è stato suggerito dall'utente sopra, cosa che con un pò di pratica ti verrà nuturale.
\[\sum_{n = 1}^{+\infty}n^a\left[\ln\left( 1+\frac{1}{n}\right)-\sin\left( \frac{1}{n}\right)\right];\]
si tratta evidentemente di una seire a termini definitivamente negativi, con termine generale infinitesimo; in questo caso, per studiarne il carattere, è opportuno sviluppare il termine generale con Taylor:
\begin{align}n^a\left[ \frac{1}{n} -\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)- \frac{1}{n} + \frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right) \right]&=n^a\left[ -\frac{1}{2n^2} +o\left(\frac{1}{n^3}\right) \right]\\
&\sim -\frac{1}{2n^{2-a}};
\end{align}
ora, il termine generale della serie assegnata risulta asintoticamente equivalente al termine generale della serie
\begin{align} -\frac{1}{2n^{2-a}},
\end{align}
che risulta convergente se $2-a>1.$ Gli stessi ragionamenti li potevi fare in mezza riga come ti è stato suggerito dall'utente sopra, cosa che con un pò di pratica ti verrà nuturale.
siete dei grandi! 
§
Ora una domanda, non ho capito bene questo punto: (abbiate pazienza, fate finta di spiegare ad un bambino scemo! )
come hai fatto a trovare esattamente questo valore:
$ -1/(2n^(2-a)) $
hai fatto il seguente passaggio?
$ n^a[-1/(2n^(2))+o(1/n^3)] = -n^a/(2n^(2))+o(1/n^3) $
poi proprieta' delle potenze (a^n/a^m=a^(n-m)):
$ -n^a/(2n^(2))+o(1/n^3) = -1/(2n^(a-2)) $
giusto?
E poi come hai fatto a concludere? hai utilizzato il confronto asintotico o diretto?
grazie ancora a tutti!
§Ora una domanda, non ho capito bene questo punto: (abbiate pazienza, fate finta di spiegare ad un bambino scemo!
)come hai fatto a trovare esattamente questo valore:
$ -1/(2n^(2-a)) $
hai fatto il seguente passaggio?
$ n^a[-1/(2n^(2))+o(1/n^3)] = -n^a/(2n^(2))+o(1/n^3) $
poi proprieta' delle potenze (a^n/a^m=a^(n-m)):
$ -n^a/(2n^(2))+o(1/n^3) = -1/(2n^(a-2)) $
giusto?
E poi come hai fatto a concludere? hai utilizzato il confronto asintotico o diretto?
grazie ancora a tutti!
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