Esercizio serie con integrali analisi 1
Buongiorno, recentemente mi sto scervellando su questo esercizio:
$\sum_{k=1}^(+oo)(\int_0^(1/n) sin(t*(t)^(1/2))/t\ \text{d} t)$
mi sono avviato nella risoluzione dell' integrale, prima con la sostituzione e dopo cercando di risolverlo per parti, ho notato allora che non è un integrale fattibile per essere analisi 1 ed ho cominciato a ragionarci un po' teoricamente, ma quell' 1/n mi ha un po' bloccato e quindi non sono riuscito a risolvere proprio niente.
Grazie dell'aiuto.
$\sum_{k=1}^(+oo)(\int_0^(1/n) sin(t*(t)^(1/2))/t\ \text{d} t)$
mi sono avviato nella risoluzione dell' integrale, prima con la sostituzione e dopo cercando di risolverlo per parti, ho notato allora che non è un integrale fattibile per essere analisi 1 ed ho cominciato a ragionarci un po' teoricamente, ma quell' 1/n mi ha un po' bloccato e quindi non sono riuscito a risolvere proprio niente.
Grazie dell'aiuto.
Risposte
Non ho capito, devi stabilire se la serie converge? Se sì, potresti usare il criterio del confronto:
Ciao Misctero,
Onestamente non mi sembra un esercizio da Analisi I... Comunque:
$\int_0^{1/n} frac{sin(t (t)^{1/2})}{t} dt = frac{2}{3}\int_0^{1/n} frac{sin(t^(3/2))}{t^{3/2}} d(t^{3/2}) = frac{2}{3} Si(frac{1}{n^{3/2}})$
Ora, siccome la funzione seno integrale $Si(x)$ è una funzione dispari, il suo sviluppo in serie di Taylor @ $x = 0$ comincia da $x$, e siccome $frac{1}{n^{3/2}} \to 0 $ per $n \to +\infty$, lo sviluppo in serie comincia da $frac{1}{n^{3/2}} $. Si conclude che la serie proposta si comporta come la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 $ e pertanto è convergente.
Onestamente non mi sembra un esercizio da Analisi I... Comunque:
$\int_0^{1/n} frac{sin(t (t)^{1/2})}{t} dt = frac{2}{3}\int_0^{1/n} frac{sin(t^(3/2))}{t^{3/2}} d(t^{3/2}) = frac{2}{3} Si(frac{1}{n^{3/2}})$
Ora, siccome la funzione seno integrale $Si(x)$ è una funzione dispari, il suo sviluppo in serie di Taylor @ $x = 0$ comincia da $x$, e siccome $frac{1}{n^{3/2}} \to 0 $ per $n \to +\infty$, lo sviluppo in serie comincia da $frac{1}{n^{3/2}} $. Si conclude che la serie proposta si comporta come la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 $ e pertanto è convergente.
Ciao Misctero,
Vedo adesso la praticamente contemporanea risposta di spugna, che ritengo anche più adatta se stai studiando Analisi I...
Vedo adesso la praticamente contemporanea risposta di spugna, che ritengo anche più adatta se stai studiando Analisi I...
"pilloeffe":
Ciao Misctero,
Vedo adesso la praticamente contemporanea risposta di spugna, che ritengo anche più adatta se stai studiando Analisi I...
"spugna":
Non ho capito, devi stabilire se la serie converge? Se sì, potresti usare il criterio del confronto:
Grazie ad entrambi, l'esercizio viene da un compito di analisi 1 della professoressa Cristina Trombetti (Federico II), mi siete stati molto utili, questo forum è una benedizione.
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