Esercizio serie
Stabilire il carattere della seguente serie:
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\ frac{(n+1)}{(1 + 2/n)^(n^2)}$
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\ frac{(n+1)}{(1 + 2/n)^(n^2)}$
Risposte
Ciao alex e benvenuta/o sul forum,
come da regolamento dovresti postare i tuoi tentativi o ragionamenti, solo così chi ti aiuta può farlo efficacemente.
come da regolamento dovresti postare i tuoi tentativi o ragionamenti, solo così chi ti aiuta può farlo efficacemente.
per me converge.
lim n->oo (n+1) / (e^n) = 0
il metodo della radice conferma la convergenza.
lim n->oo (n+1) / (e^n) = 0
il metodo della radice conferma la convergenza.
"alex^2":
per me converge.
$lim_(n->infty) (n+1) / (e^n) = 0$
Sta' attento che questo è solo un buon "segno", ma non implica necessariamente la convergenza della serie.
Perché la serie converga serve che il termine generale vada a $0$ -come dice il buon senso, d'altronde-, ma per la convergenza conta la "velocità" con cui questo termine diventa infinitesimo. Esempio classico, da manuale noioso: serie armonica:
- $sum_1^infty 1/n$[/list:u:3p915ijt]
Quì è evidente che il termine generale vada a $0$, ma non è abbastanza.
Il metodo della radice conferma la convergenza.
..non conferma, perché il limite uguale a $0$ non verifica la convergenza della serie.
Ad ogni modo a te, anche usando criterio della radice se vuoi, verificare che la serie converge (basta usare Wolfram):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... 28n%5E2%29
Ciao!
Ciao ad entrambi!
D'accordo con giuscri ma,forse,l'autore del post voleva dire che,
essendo il termine generale della serie asintotic. equivalente alla successione infinitesima di termine generale $(n+1)/(e^n)$
(in tal caso sbagliando,perchè al denominatore l'esponente giusto da mettere sarebbe stato $2n$..),
è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza;
nel rigo successivo,proseguendo nella mia ipotesi,
ha poi implicitamente detto d'aver ritenuto,tra quelli che a quel punto era obbligato a provare,
il(corollario al..)criterio della radice quello più opportuno per stabilirne il carattere:
se è così non sbagliava(in effetti $lim_(n to +oo)(a_n)^(1/n)=lim_(n to +oo)((n+1)^(1/n))/((1+2/n)^n)=1/(e^2)<1..$),
ma è stato forse un pò troppo succinto nell'esporre la trattazione
(va beh,lo confesso..a pensarlo ci stò poco,dato che,ad esempio,
ho trovato la Divina Commedia di lunghezza appena appena esaustiva
).
Saluti dal web.
D'accordo con giuscri ma,forse,l'autore del post voleva dire che,
essendo il termine generale della serie asintotic. equivalente alla successione infinitesima di termine generale $(n+1)/(e^n)$
(in tal caso sbagliando,perchè al denominatore l'esponente giusto da mettere sarebbe stato $2n$..),
è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza;
nel rigo successivo,proseguendo nella mia ipotesi,
ha poi implicitamente detto d'aver ritenuto,tra quelli che a quel punto era obbligato a provare,
il(corollario al..)criterio della radice quello più opportuno per stabilirne il carattere:
se è così non sbagliava(in effetti $lim_(n to +oo)(a_n)^(1/n)=lim_(n to +oo)((n+1)^(1/n))/((1+2/n)^n)=1/(e^2)<1..$),
ma è stato forse un pò troppo succinto nell'esporre la trattazione
(va beh,lo confesso..a pensarlo ci stò poco,dato che,ad esempio,
ho trovato la Divina Commedia di lunghezza appena appena esaustiva
).Saluti dal web.
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