Esercizio serie
determinare la somma parziale n-sima della serie
$Sn = log(1+ 1/n)^3$
mi verrebbe da dire che
$lim n->0 (log(1 + n))/n = 1$
quindi
$Sn = log(1+ 1/n)^3 => 3 Sn = log(1+ 1/n) => 3 Sn =1/n$
ma $1/n$ è serie armonica, quindi diverge
giusto?
$Sn = log(1+ 1/n)^3$
mi verrebbe da dire che
$lim n->0 (log(1 + n))/n = 1$
quindi
$Sn = log(1+ 1/n)^3 => 3 Sn = log(1+ 1/n) => 3 Sn =1/n$
ma $1/n$ è serie armonica, quindi diverge
giusto?
Risposte
Se la domanda riguardasse semplicemente la convergenza/divergenza della serie allora ci saresti andato vicino a rispondere correttamente:
$S_n = log(1+ 1/n)^3 => S_n/3 = log(1+ 1/n) \sim 1/n$ per $n->+oo$ quindi la serie diverge.
Però l'esercizio ti chiede quanto vale esplicitamente $s_n$. Dovrai usare delle proprietà dei logaritmi per venirne fuori.
$S_n = log(1+ 1/n)^3 => S_n/3 = log(1+ 1/n) \sim 1/n$ per $n->+oo$ quindi la serie diverge.
Però l'esercizio ti chiede quanto vale esplicitamente $s_n$. Dovrai usare delle proprietà dei logaritmi per venirne fuori.
Direi che devi fare un'altra cosa:
ti chiedono di "determinare la somma ennesima" ovvero di trovare una forma (che si spera semplice e breve) di esprimere la somma di $n$ termini.
Ovvero:
$log(1+1)^3+log(1+1/2)^3+log(1+1/3)^3+...+log(1+1/n)^3 = $
$log[(1+1)^3(1+1/2)^3(1+1/3)^3...(1+1/n)^3]$
ti chiedono di "determinare la somma ennesima" ovvero di trovare una forma (che si spera semplice e breve) di esprimere la somma di $n$ termini.
Ovvero:
$log(1+1)^3+log(1+1/2)^3+log(1+1/3)^3+...+log(1+1/n)^3 = $
$log[(1+1)^3(1+1/2)^3(1+1/3)^3...(1+1/n)^3]$
@Alfius: a parte il posto del $3$ il resto va bene?
per quanto riguarda la somma parziale n-sima, dovrei solo trovare la forma della somma di infiniti termini? (perdonate l'abuso del termine).
per quanto riguarda la somma parziale n-sima, dovrei solo trovare la forma della somma di infiniti termini? (perdonate l'abuso del termine).
Il mio ultimo post conteneva un errore...
La somma parziale $n$-esima è una cosa ben precisa: è $s_n$
L'esercizio non ti chiede quanto vale la somma degli infiniti termini, ti chiede di trovare una formula esplicita per $s_n$.
Se guardi il post di Quinzio ti ha dato un grosso aiuto su come cominciare, però dovrai fare una piccola osservazione per riuscire a scrivere una formula chiusa per $s_n$.
Se non riesci a concludere chiedi ancora, però vorrei che prima provassi tu.
L'esercizio non ti chiede quanto vale la somma degli infiniti termini, ti chiede di trovare una formula esplicita per $s_n$.
Se guardi il post di Quinzio ti ha dato un grosso aiuto su come cominciare, però dovrai fare una piccola osservazione per riuscire a scrivere una formula chiusa per $s_n$.
Se non riesci a concludere chiedi ancora, però vorrei che prima provassi tu.
$log (qualcosa)^3 $
vedo che i numeri tra parentesi vanno da 2 a...... 1, quindi dovrei trovare una formula che me lo scandisca...
vedo che i numeri tra parentesi vanno da 2 a...... 1, quindi dovrei trovare una formula che me lo scandisca...
"Mrs92":
$log (qualcosa)^3 $
Ok, dunque il $3$ lo porti fuori dal logaritmo così è più comodo.
"Mrs92":
vedo che i numeri tra parentesi vanno da 2 a...... 1, quindi dovrei trovare una formula che me lo scandisca...
Non riesco a capire cosa intendi.
(1+1) fa 2
(1+ 1/2) fa 1.5 e via discorrendo fino ad arrivare ad 1
(1+ 1/2) fa 1.5 e via discorrendo fino ad arrivare ad 1
Ok, lo scrivo in un modo un po' diverso.
$log[(1+1)^3(1+1/2)^3(1+1/3)^3...(1+1/n)^3]=3log[2\cdot 3/2\cdot 4/3\cdot 5/4 ...\cdot (n+1)/n]$
Noti qualcosa?
$log[(1+1)^3(1+1/2)^3(1+1/3)^3...(1+1/n)^3]=3log[2\cdot 3/2\cdot 4/3\cdot 5/4 ...\cdot (n+1)/n]$
Noti qualcosa?
semplifiazioni a catena....
Esatto, quindi $s_n=3log(n+1)$
ha senso, grazie mille.
Di nulla
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