Esercizio serie
Salve a tutti. Dovrei studiare il carattere della serie di termine generale $(1-e^(((-1)^n)/n))tg(1/n)$. Purtroppo ho capito soltanto il segno della serie, cioè se non sbaglio, per $n$ pari è a termini negativi, per $n$ dispari è a termini positivi. La tentazione è quella di usare il teorema di Leibniz, ma non credo si possa utilizzare in questo caso, data la forma della serie. Purtroppo con questi segni non mi viene in mente alcuna soluzione 
Voi che ne pensate ?
Grazie anticipatamente !
Voi che ne pensate ?
Grazie anticipatamente !
Risposte
uhm cioè tu hai questa serie $\sum [1-\exp(((-)^n)/(n))]\tan(1/n)$
uhm prova ad usare il criterio della convergenza assoluta, se converge assolutamente allora hai finito
perchè è da teorema, se converge assolutamente allora converge semplicemente!
uhm prova ad usare il criterio della convergenza assoluta, se converge assolutamente allora hai finito
perchè è da teorema, se converge assolutamente allora converge semplicemente!
potresti affidarti anche agli sviluppi in serie di Taylor...
"21zuclo":
uhm cioè tu hai questa serie $\sum [1-\exp(((-)^n)/(n))]\tan(1/n)$
uhm prova ad usare il criterio della convergenza assoluta, se converge assolutamente allora hai finito
perchè è da teorema, se converge assolutamente allora converge semplicemente!
Come si fa ad usare la convergenza assoluta se nel termine generale $(1 - e^(((-1)^n)/n))$ è positivo per n dispari e negativo per n pari ? Non è come calcolare il valore assoluto di $((-1)^n)/n$ che è pari ad $1$. Ho provato anche con gli sviluppI, ma nada.
Se è alternante puoi provare con il Criterio di Leibniz.
"Demostene92":
Se è alternante puoi provare con il Criterio di Leibniz.
Il mio dubbio su Leibniz è questo: nel teorema è richiesto che il fattore oscillante sia $(-1)^n$, qui è $(1-e^(((-1)^n)/n))$. Si può applicare lo stesso il teorema ? Perché tutte le altre ipotesi sono verificare, sarebbe molto comodo !
"brownbetty":
Ho provato anche con gli sviluppI, ma nada.
E perché no ?
$e^((-1)^n/n) \sim 1+(-1)^n/n + ... $
E dunque...
$\sum_(n=1)^oo (cos(pin)/n)(1/n) $ ... che converge nella $|| • ||_oo$ .
In realtà il teorema si limita a dire che la serie deve essere alternante, quindi che tu abbia $(-1)^n$ o qualsiasi altro fattore, se la serie è alternate il criterio è applicabile.
"brownbetty":
[quote="21zuclo"]uhm cioè tu hai questa serie $\sum [1-\exp(((-)^n)/(n))]\tan(1/n)$
uhm prova ad usare il criterio della convergenza assoluta, se converge assolutamente allora hai finito
perchè è da teorema, se converge assolutamente allora converge semplicemente!
Come si fa ad usare la convergenza assoluta se nel termine generale $(1 - e^(((-1)^n)/n))$ è positivo per n dispari e negativo per n pari ? Non è come calcolare il valore assoluto di $((-1)^n)/n$ che è pari ad $1$. Ho provato anche con gli sviluppI, ma nada.[/quote]
io farei così con il criterio della convergenza assoluta
chiamo $a_n=[1-\exp(((-)^n)/(n))]\tan(1/n)$,
ora applico il criterio $|a_n|=|[1-\exp(((-)^n)/(n))]\tan(1/n)|=[1-\exp(1/n)]\tan(1/n) \sim 1/n \cdot 1/n=(1)/(n^2)$
e quindi siccome $\sum (1)/(n^2)$ CONVERGE ASSOLUTAMENTE, allora la tua serie iniziale converge semplicemente
"21zuclo":
[quote="brownbetty"][quote="21zuclo"]uhm cioè tu hai questa serie $\sum [1-\exp(((-)^n)/(n))]\tan(1/n)$
uhm prova ad usare il criterio della convergenza assoluta, se converge assolutamente allora hai finito
perchè è da teorema, se converge assolutamente allora converge semplicemente!
Come si fa ad usare la convergenza assoluta se nel termine generale $(1 - e^(((-1)^n)/n))$ è positivo per n dispari e negativo per n pari ? Non è come calcolare il valore assoluto di $((-1)^n)/n$ che è pari ad $1$. Ho provato anche con gli sviluppI, ma nada.[/quote]
io farei così con il criterio della convergenza assoluta
chiamo $a_n=[1-\exp(((-)^n)/(n))]\tan(1/n)$,
ora applico il criterio $|a_n|=|[1-\exp(((-)^n)/(n))]\tan(1/n)|=[1-\exp(1/n)]\tan(1/n) \sim 1/n \cdot 1/n=(1)/(n^2)$
e quindi siccome $\sum (1)/(n^2)$ CONVERGE ASSOLUTAMENTE, allora la tua serie iniziale converge semplicemente[/quote]
No.
$|a_n| ≠ [1-\exp(1/n)]\tan(1/n) $ !!!
E' come dire che $|e^(-x)| = e^x $ ...
@ Hadronen
cavolo hai ragione, scusa!..chiedo scusa per il mio errore.. pardon a tutti!
Essere in vacanza provoca brutti scherzi! XD
cavolo hai ragione, scusa!..chiedo scusa per il mio errore.. pardon a tutti!
Essere in vacanza provoca brutti scherzi! XD
"Hadronen":
[quote="brownbetty"]Ho provato anche con gli sviluppI, ma nada.
E perché no ?
$e^((-1)^n/n) \sim 1+(-1)^n/n + ... $
E dunque...
$\sum_(n=1)^oo (cos(pin)/n)(1/n) $ ... che converge nella $|| • ||_oo$ .[/quote]
È più esatto questo tuo ragionamento!..
proprio chiedo scusa a tutti, ammetto il mio errore.
Però se si scrive, usando taylor al primo ordine:
$|(1-e^(((-1)^n)/n))tg(1/n)| = |(-((-1)^n)/n)|(1/n) = (|-((-1)^n)|)/n^2$ per $n->+oo$
e poi si confronta asintoticamente, come detto da voi, con la serie armonica generalizza $1/n^2$, cioè
$(|-((-1)^n)|/n^2)/(1/n^2) = |-((-1)^n)| = 1 > 0$ per $n->+oo$,
essendo $|-((-1)^n)| = 1$ per ogni $n$,
si può dire che la serie converge assolutamente, quindi converge ?
$|(1-e^(((-1)^n)/n))tg(1/n)| = |(-((-1)^n)/n)|(1/n) = (|-((-1)^n)|)/n^2$ per $n->+oo$
e poi si confronta asintoticamente, come detto da voi, con la serie armonica generalizza $1/n^2$, cioè
$(|-((-1)^n)|/n^2)/(1/n^2) = |-((-1)^n)| = 1 > 0$ per $n->+oo$,
essendo $|-((-1)^n)| = 1$ per ogni $n$,
si può dire che la serie converge assolutamente, quindi converge ?
sì si può dire, perchè da teorema se converge assolutamente allora converge anche semplicemente!
Scusate, ma ieri notte ero in coma alcolico, e non riuscivo a spiegarmi l'utilizzo della convergenza assoluta (la prima eguaglianza praticamente). Quindi mi confermate che si può studiare anche così la serie ?
"brownbetty":
Scusate, ma ieri notte ero in coma alcolico, e non riuscivo a spiegarmi l'utilizzo della convergenza assoluta (la prima eguaglianza praticamente). Quindi mi confermate che si può studiare anche così la serie ?
Certo!
Ok, allora un grazie a tutti !!!
e buone vacanze
e buone vacanze
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