Esercizio serie
Salve a tutti..
mi sono imbattuto in questo esercizio:
$\sum_{n=1}^(+oo)sin(nx)/n^2, x\epsilonR$
cosa devo fare???
ho cominciato applicando il criterio di laibnitz e ho dimostrato che è un infinitesimo.. ma poi non riesco a dimostrare che sia anche monotona decrescente... anche perchè non ho ancora capito bene il ruolo che riveste la x...
I need Help!!
mi sono imbattuto in questo esercizio:
$\sum_{n=1}^(+oo)sin(nx)/n^2, x\epsilonR$
cosa devo fare???
ho cominciato applicando il criterio di laibnitz e ho dimostrato che è un infinitesimo.. ma poi non riesco a dimostrare che sia anche monotona decrescente... anche perchè non ho ancora capito bene il ruolo che riveste la x...
I need Help!!
Risposte
"Laibnitz" non si può leggere! Ed il criterio di Leibniz non è applicabile in questo caso.
Studia la convergenza assoluta facendo una maggiorazione.
Studia la convergenza assoluta facendo una maggiorazione.
Scusami hai ragione Leibniz...
Ma maggiorando ottengo questo: $|x|/n$??
Ma maggiorando ottengo questo: $|x|/n$??
$| sin(n x ) |/n^2 <= 1/n^2$
non ho capito come hai fatto, mi dispiace...
Sei d'accordo che $|sin(y)| <= 1$ , $AA y in RR$?
certamente
Bene, allora maggiorando così ottieni quello che ho scritto qualche post fa e puoi concludere che la serie data converge assolutamente per il criterio del confronto.
ok.. ho capito...
ma per maggiorare una successione c'è qualche regola particolare?? o si va ad intuito??
invece per quanro riguarda l'esercizio postato sopra, maggiorando la |x| scompare, quindi come si conclude??
ma per maggiorare una successione c'è qualche regola particolare?? o si va ad intuito??
invece per quanro riguarda l'esercizio postato sopra, maggiorando la |x| scompare, quindi come si conclude??
Si conclude che $AA x in RR$ la serie converge perché maggiorata da $sum 1/n^2$.
okok sei stato chiarissimo..
quindi se ho questa serie: $\sum (2^(n+1))/x^n$ e mi viene chiesto per quali valori della x questa sia convergente..
Per $x>=0$ la serie è a termini non negativi..
Per $x<0$ la serie è a segno alterno..
1 caso:
assumendo che la x sia positiva, applico il criteri radice $lim_{n->+oo} root(n)((2/x)^n2)= 2/x $
quindi per $x<2$ la serie diverge, mentre per $x>2$ la serie converge..
2caso:
è a segni alterni, quindi studiamo la convergenza assoluta..
$\sum |(2^(n+1))/x^n|= \sum (2^(n+1))/|x^n|$
applico nuovamente il criterio radice e ottengo $lim_{n->+oo} root(n)((2/|x|)^n2)= 2/|x| $
quindi la serie converge assolutamente per $x<-2 U x>2$
ho fatto bene??
quindi se ho questa serie: $\sum (2^(n+1))/x^n$ e mi viene chiesto per quali valori della x questa sia convergente..
Per $x>=0$ la serie è a termini non negativi..
Per $x<0$ la serie è a segno alterno..
1 caso:
assumendo che la x sia positiva, applico il criteri radice $lim_{n->+oo} root(n)((2/x)^n2)= 2/x $
quindi per $x<2$ la serie diverge, mentre per $x>2$ la serie converge..
2caso:
è a segni alterni, quindi studiamo la convergenza assoluta..
$\sum |(2^(n+1))/x^n|= \sum (2^(n+1))/|x^n|$
applico nuovamente il criterio radice e ottengo $lim_{n->+oo} root(n)((2/|x|)^n2)= 2/|x| $
quindi la serie converge assolutamente per $x<-2 U x>2$
ho fatto bene??
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