Esercizio serie

[marktrix]

Ciao qualcuno sa risolvere questo esecizio?

$ s_n= 1/n(4x-3/x)^n $

Ho utilizzato il criterio della radice ma non so come andare avanti...

e^ln 1/n(4x-3/x) ----> nln 1/n(4x-3/x) che è asintotico a n(1/n(4x-3/x) - 1) ..............poi??

[giuseppe87x]

Dovresti specificare come è definita $x$, comunque...
Dobbiamo calcolare $sum_(n=1)^(infty)1/n(4x-3/x)^n$ al variare di $x$.
Utilizzando il criterio della radice si ha $lim_(n to infty)rootn(1/n(4x-3/x)^n)=lim_(n to infty)(4x-3/x)rootn(1/n)->4x-3/x$. Non ti resta che risolvere $4x-3/x<1$ per trovare i valori di $x$ per i quali la serie data converge.

[marktrix]

lim_(n to infty)(4x-3/x)rootn(1/n)->4x-3/x$

qua rootn(1/n) sparisce per quale motivo?

Il testo dell'esercizio era: studiare in dipendenda da x appartenente a R la serie, quindi dopo aver trovato $4x-3/x$ devo porlo >1 per vedere quando è divergente e < per sapere quando converge?

[giuseppe87x]

"marktrix":
Il testo dell'esercizio era: studiare in dipendenda da x appartenente a R la serie, quindi dopo aver trovato $4x-3/x$ devo porlo >1 per vedere quando è divergente e < per sapere quando converge?

Si.
$sqrt(1/n)$ tende a $1$, infatti basta osservare che $1/(n+1)/1/n$ tende a $1$ e conludere per Cesaro.

[leev]

Credo che sia da verificare quando $|4x-3/x|<1$; anche perché nel criterio c'è un valore assoluto.

[marktrix]

Grazie!

[marktrix]

Ma quindi quando ho la radice n-sima di 1/qualcosa che contiene n tende sempre a 1?

ad es $sqrt n (1/sqrt n) -> 1?

[Sk_Anonymous]

"marktrix":Ma quindi quando ho la radice n-sima di 1/qualcosa che contiene n tende sempre a 1? ad es $sqrt n (1/sqrt n) -> 1?

Ovviamente no: poni che "qualcosa che contiene n" sia uguale ad $n^n$, per esempio...

[marktrix]

io trovato il modo che quando ho una radice n-sima faccio e^1/n ln (argomento radice)... mi sembra il metodo più facile per risolverle...